Chủ đề này có 1 trả lời

[kienvuhoang]

Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn:$b+1|a^2+1$ và  $a+1|b^2+1$.Chứng minh rằng:a,b đều lẻ

[royal1534]

Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn:$b+1|a^2+1$ và  $a+1|b^2+1$.Chứng minh rằng:a,b đều lẻ

Giả sử $a$ chẵn thì suy ra $b$ chẵn.
Đặt $(b+1,a+1)=d$ . Vì $b+1,a+1$ lẻ nên suy ra $d$ lẻ

$\Rightarrow d \mid a^2-1+b^2-1=a^2+b^2-2$
Mặt khác $d \mid b+1 \mid a^2+1 \Rightarrow d \mid a^2+b^2 $

Từ hai điều trên suy ra $d \mid 2 \Rightarrow d=1$ (vì $d$ lẻ)

Ta có $b+1 \mid a^2+1 \Rightarrow b+1 \mid (a^2+1)+(b^2-1)=a^2+b^2$
Tương tự $a+1 \mid a^2+b^2$

Suy ra $(a+1)(b+1) \mid a^2+b^2$

$\Rightarrow a^2+b^2=n(a+1)(b+1)$ ($n \in Z$)

Sử dụng bước nhảy Viet sẽ suy ra không tồn tại $n$ để phương trình trên có nghiệm.

Từ đó ta phải có $a$ lẻ suy ra $b$ lẻ