Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca \geq 3+\sqrt{1+a^2} +\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$
CM $ab+bc+ca \geq 3+\sqrt{1+a^2} +\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$
#1
Đã gửi 02-10-2017 - 19:34
#2
Đã gửi 02-10-2017 - 20:15
Ta có $ \sum ab =\sum \frac{abc}{c}=\sum \frac{a+b+c}{c}=\sum \frac{a+b}{c} +3$
Vậy ta cần chứng minh $ \sum \frac{a+b}{c} \geq \sum \sqrt{1+a^2}$
Thật vậy ta có:
$\sqrt{1+a^2}=\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}+a^2}=\sqrt{\frac{a(a+b)(a+c)}{a+b+c}}=\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}$ (do $abc=a+b+c$) $\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b})$
Tương tự rồi cộng vế ta có $Q.E.D$
- hanguyen445, The Flash, M4st3r of P4nstu và 3 người khác yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#3
Đã gửi 02-10-2017 - 20:28
- duylax2412 yêu thích
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
#4
Đã gửi 02-10-2017 - 20:28
chia abc cho cả 2 vế, đặt 1/a=x;1/b=y;1/c=z
-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----
#5
Đã gửi 05-10-2017 - 21:18
BĐT $\Leftrightarrow (ab+bc+ca-3)^{2}\geq (\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1})^{2}$
Có $(ab+bc+ca-3)^{2}= (ab+bc+ca)^{2}-6(ab+bc+ca)+9\geq 3(a+b+c)abc-6(ab+bc+ca)+9= 3(a+b+c)^{2}-6(ab+bc+ca)+9= 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9$
Ta cần chứng minh $(\sum \sqrt{a^{2}+1})^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$
Ap dụng bất đẳng thức Bunhia ta có
$(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1})^{2}\leq 3(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)= 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$
$\Rightarrow dpcm$
- duylax2412 yêu thích
Đặng Minh Đức CTBer
#6
Đã gửi 23-07-2018 - 22:35
#7
Đã gửi 25-07-2018 - 14:25
[khác hơn!]
$$\sum\limits_{cyc}ab+ 3\geqq 2\sum\limits_{cyc}\sqrt{a^{2}+ 1}$$
$$\sqrt{\prod\limits_{cyc}\left ( a^{2}+ 1 \right ) }+ 4\geqq 2\sum\limits_{cyc} \sqrt{a^{2}+ 1}$$
#8
Đã gửi 25-07-2018 - 20:57
#9
Đã gửi 13-05-2021 - 19:37
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca \geq 3+\sqrt{1+a^2} +\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$
Lời giải. Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $xy+yz+zx=1$ và ta cần chứng minh: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geqslant 3+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}\leqslant \sqrt{3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+3)}$
Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geqslant 3+\sqrt{3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+3)}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}-3)^2\geqslant 3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3$)
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2b^2c^2}\geqslant 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 19:37
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh