Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d: y = \frac{3}{2}x +\frac{1}{3};a,b$ là hai đường thẳng phân biệt song song và cách đều $d$ một khoảng bằng $\frac{1}{13}.$ Chứng minh rằng trong miền mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ với biên là $a,b$ không có điểm nguyên nào.
Gọi $(x_0, y_0)$ là điểm nằm trên a hoặc b
có $\frac{|\frac32x_0 -y_0 +\frac13|}{\sqrt{\frac94 +1}} =\frac1{13}$
$\Rightarrow $ pt a và b là
$3x -2y +\frac23 -\frac1{\sqrt{13}} =0$ hoặc
$3x -2y +\frac23 +\frac1{\sqrt{13}} =0$
ta sẽ chứng minh điểm nằm trong miền trên nếu hoành độ nguyên thì tung độ không nguyên hay nếu tung độ nguyên thì hoành độ không nguyên
*nếu hoành độ nguyên, xét các trường hợp
+nếu x =2k:
đường thẳng x =2k cắt a và b tại điểm A, B có tung độ $y_1, y_2$
$y_1 =3k+\frac13 -\frac1{2\sqrt{13}}>3k$
$y_2 =3k+\frac13 +\frac1{2\sqrt{13}}<3k +\frac13 +\frac16 <3k +1$
tung độ điểm nằm trong miền trên thỏa
$3k <y_1 \leqslant y \leqslant y_2 <3k +1$
$\Rightarrow $ y không nguyên
+nếu x =2k +1:
$y_1 =3k +1 +\frac56 -\frac1{2\sqrt{13}}>3k +1$
$y_2 =3k +2 +\frac1{2\sqrt{13}} -\frac16<3k +2$
$3k +1 <y_1 \leqslant y \leqslant y_2 <3k +2$
$\Rightarrow $ y không nguyên
*nếu tung độ nguyên, xét các trường hợp
+nếu y =3k:
đường thẳng y =3k cắt a và b tại điểm A, B có hoành độ $x_1, x_2$
$x_1 =2k -1 +\frac79 -\frac1{3\sqrt{13}} >2k -1$
$x_2 =2k -\frac29 +\frac1{3\sqrt{13}} <2k$
$2k -1 <x_1 \leqslant x \leqslant x_2 <2k$
$\Rightarrow $ x không nguyên
+nếu y =3k +1:
$x_1 =2k +\frac49 -\frac1{3\sqrt{13}} >2k$
$x_2 =2k +1 -\frac59 +\frac1{3\sqrt{13}} <2k +1$
$2k <x_1 \leqslant x \leqslant x_2<2k +1$
$\Rightarrow $ x không nguyên
+nếu y =3k +2:
$x_1 =2k +1 +\frac19 -\frac1{3\sqrt{13}} >2k +1$
$x_2 =2k +2 -\frac89 +\frac1{3\sqrt{13}} <2k +2$
$2k +1 <x_1 \leqslant x \leqslant x_2 <2k +2$
$\Rightarrow $ x không nguyên
**Vậy ta có đpcm
