Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn
$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}\geq a^3+b^3+c^3$
#1
Đã gửi 04-10-2017 - 15:55
#2
Đã gửi 23-06-2023 - 16:26
gui lai hinh duoc khong anh,mo qua
#3
Đã gửi 23-06-2023 - 16:59
gui lai hinh duoc khong anh,mo qua
Đề bài là: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}\geq a^3+b^3+c^3$
Mình chứng minh bài này luôn nhé.
Áp dụng BĐT AM-GM, ta được $\frac{a^5}{b^2}+ab^2\geq 2a^3$
Tương tự, ta được $\frac{b^5}{c^2}+bc^2\geq 2b^3,\frac{c^5}{a^2}+ca^2\geq 2c^3$
Cộng vế với vế, ta được $\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)$
Ta chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$
Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM, ta được $a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2$
Tương tự, ta được $b^3+2c^3\geq 3bc^2,c^3+2a^3\geq 3ca^2$
Cộng vế với vế, ta được (đpcm)
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 23-06-2023 - 16:59
- perfectstrong và William Nguyen thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số, toán lớp 9, bất đẳng thức, cô si, hệ số bất định, chuyên toán
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tại sao không phải mọi tập sinh có 3 phần tử là tập cơ sởBắt đầu bởi Lyua My, 21-01-2024 đại số |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh