Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenthaison]

CMR luôn có thể bỏ đi 2 phần tử của S để các số còn lại là 1 số chính  phương

[duylax2412]

Có phải đề nguyên văn là: "Cho tập S={1;2;3;...n} với $n \geq 3$. Chứng minh rằng có thể bỏ đi hai phần tử của S để tổng của những phần tử còn lại là một số chính phương". Giải như sau: 

Giả sử ngược lại không thể bỏ đi hai phần tử của $S$ sao cho tổng của những số còn lại là số chính phương.Ta tính được tổng tất cả phần tử của $S$ là $\frac{n(n+1)}{2}$ vậy thì suy ra $\forall a,b \in S$ ;$\frac{n(n+1)}{2}-a-b$ không chính phương

Mà $\frac{n(n+1)}{2} -n-(n-1) \leq \frac{n(n+1)}{2}-a-b \leq \frac{n(n+1)}{2}-1-2 $ suy ra tồn tại số tự nhiên $x$ sao cho:

$x^2 <\frac{n(n+1)}{2}-2n+1<\frac{n(n+1)}{2}-3<(x+1)^2 \Rightarrow x^2+1 \leq \frac{n^2-3n+2}{2}<\frac{n^2+n-6}{2} \leq x^2+2x$

Từ $ x^2+1 \rightarrow x^2+2x$ có $2x$ số. Từ $\frac{n^2-3n+2}{2} \rightarrow \frac{n^2+n-6}{2}$ có $\frac{4n-8}{2}+1=2n-3$ số

Suy ra $2n-3 \leq 2x \Rightarrow 2n-2 \leq 2x \Rightarrow n \leq x+1$

Từ đó ta có $x^2 < \frac{n^2-3n+2}{2} =\frac{(n-1)(n-2)}{2} \leq \frac{x(x-1)}{2} \Rightarrow x \leq 0 $ Dễ thấy vô lý.