CMR luôn có thể bỏ đi 2 phần tử của S để các số còn lại là 1 số chính phương
Cho tập S={1;2;3;...;n}
#1
Đã gửi 04-10-2017 - 16:27
#2
Đã gửi 05-10-2017 - 16:34
Có phải đề nguyên văn là: "Cho tập S={1;2;3;...n} với $n \geq 3$. Chứng minh rằng có thể bỏ đi hai phần tử của S để tổng của những phần tử còn lại là một số chính phương". Giải như sau:
Giả sử ngược lại không thể bỏ đi hai phần tử của $S$ sao cho tổng của những số còn lại là số chính phương.Ta tính được tổng tất cả phần tử của $S$ là $\frac{n(n+1)}{2}$ vậy thì suy ra $\forall a,b \in S$ ;$\frac{n(n+1)}{2}-a-b$ không chính phương
Mà $\frac{n(n+1)}{2} -n-(n-1) \leq \frac{n(n+1)}{2}-a-b \leq \frac{n(n+1)}{2}-1-2 $ suy ra tồn tại số tự nhiên $x$ sao cho:
$x^2 <\frac{n(n+1)}{2}-2n+1<\frac{n(n+1)}{2}-3<(x+1)^2 \Rightarrow x^2+1 \leq \frac{n^2-3n+2}{2}<\frac{n^2+n-6}{2} \leq x^2+2x$
Từ $ x^2+1 \rightarrow x^2+2x$ có $2x$ số. Từ $\frac{n^2-3n+2}{2} \rightarrow \frac{n^2+n-6}{2}$ có $\frac{4n-8}{2}+1=2n-3$ số
Suy ra $2n-3 \leq 2x \Rightarrow 2n-2 \leq 2x \Rightarrow n \leq x+1$
Từ đó ta có $x^2 < \frac{n^2-3n+2}{2} =\frac{(n-1)(n-2)}{2} \leq \frac{x(x-1)}{2} \Rightarrow x \leq 0 $ Dễ thấy vô lý.
- M4st3r of P4nstu, nguyenthaibaolax1011 và Phillippa08 thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, vào 10 chuyên, chuyên toán tin, tổ hợp
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tổ hợp gây lúBắt đầu bởi huucong, Hôm qua, 21:21 tổ hợp |
|
||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Không biết sai ở đâuBắt đầu bởi huucong, Hôm qua, 20:50 tổ hợp |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
Không biết sai ở đâu: Chọn ngẫu nhiên 5 hs từ đội văn nghệ sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn, hỏi có bao nhiêu cáchBắt đầu bởi huucong, Hôm qua, 20:44 tổ hợp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Có bao nhiêu cách viết số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương?Bắt đầu bởi Explorer, 24-04-2024 tổ hợp, đếm, nguyên dương và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Có bao nhiêu hoán vị của tập {1, 2, 3, …, 9, 10} sao cho i luôn đứng trước i+5 với i chạy từ 1 đến 5Bắt đầu bởi Explorer, 19-04-2024 tổ hợp, toán rời rạc, hoán vị và . |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh