CMR luôn có thể bỏ đi 2 phần tử của S để các số còn lại là 1 số chính phương
Cho tập S={1;2;3;...;n}
#1
Đã gửi 04-10-2017 - 16:27
#2
Đã gửi 05-10-2017 - 16:34
Có phải đề nguyên văn là: "Cho tập S={1;2;3;...n} với $n \geq 3$. Chứng minh rằng có thể bỏ đi hai phần tử của S để tổng của những phần tử còn lại là một số chính phương". Giải như sau:
Giả sử ngược lại không thể bỏ đi hai phần tử của $S$ sao cho tổng của những số còn lại là số chính phương.Ta tính được tổng tất cả phần tử của $S$ là $\frac{n(n+1)}{2}$ vậy thì suy ra $\forall a,b \in S$ ;$\frac{n(n+1)}{2}-a-b$ không chính phương
Mà $\frac{n(n+1)}{2} -n-(n-1) \leq \frac{n(n+1)}{2}-a-b \leq \frac{n(n+1)}{2}-1-2 $ suy ra tồn tại số tự nhiên $x$ sao cho:
$x^2 <\frac{n(n+1)}{2}-2n+1<\frac{n(n+1)}{2}-3<(x+1)^2 \Rightarrow x^2+1 \leq \frac{n^2-3n+2}{2}<\frac{n^2+n-6}{2} \leq x^2+2x$
Từ $ x^2+1 \rightarrow x^2+2x$ có $2x$ số. Từ $\frac{n^2-3n+2}{2} \rightarrow \frac{n^2+n-6}{2}$ có $\frac{4n-8}{2}+1=2n-3$ số
Suy ra $2n-3 \leq 2x \Rightarrow 2n-2 \leq 2x \Rightarrow n \leq x+1$
Từ đó ta có $x^2 < \frac{n^2-3n+2}{2} =\frac{(n-1)(n-2)}{2} \leq \frac{x(x-1)}{2} \Rightarrow x \leq 0 $ Dễ thấy vô lý.
- M4st3r of P4nstu, nguyenthaibaolax1011 và Phillippa08 thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, vào 10 chuyên, chuyên toán tin, tổ hợp
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh