Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x^2+f(xy))=xf(x+y)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 04-10-2017 - 18:41

Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$$f(x^2+f(xy))=xf(x+y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$



#2 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-10-2017 - 20:47

trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0

ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ

suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0

th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng...... 

th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0 

thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực 

lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực

Vậy.....



#3 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 09-10-2017 - 17:23

trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0

ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ

suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0

th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng...... 

th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0 

thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực 

lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực

Vậy.....

Làm đầy đủ chút được không bạn.
$P(x,f(0)):f(x^2+f(xf(0)))=xf(x+f(0))$
$P(a,y):f(a^2+f(ay))=af(y+a)$

Như bạn thấy cả 2 đẳng thức này chả thu được gì cả. 



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 26-10-2017 - 22:55

$f(x^2+f(xy)) = xf(x+y)$

Thế $ y = -x$ ta có $f(x^2+f(-x^2)) = xf(0) = -xf(0)$ với mọi $x$ nên $f(0) = 0$ . Từ đây ta có $f(x^2+f(-x^2)) = 0$

Thế $y = 0$ ta có $f(x^2) = xf(x)$ 

Giả sử tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a) = 0$ . Theo điều trên ta có $f(a^2 ) = af(a) = 0$ 

Thế $y = \frac{a}{x}$ , $x \neq 0 $ ta nhận được $f(x+\frac{a}{x}) = 0$ .

Xét phương trình $x +\frac{a}{x} = m$ , phương trình này có nghiệm khi $m^2 \geq 4a$ 

Vậy ta xét $3$ khoảng : $I_1 = ( - 2 \sqrt{a} , 2 \sqrt{a}) , I_2 = (- \infty , -2\sqrt{a}] , I_3 = [2\sqrt{a} , \infty )$ . Khi đó , $m \in I_2 , I_3$ thì $f(m) = 0$ 

Ta xét $x$ rất lớn , $y = a-x$ với $ a \in I_1$ . Khi đó thế vào đẳng thức ban đầu ta có $f(a) = 0$ nên $f(x) = 0$  $\forall$ $x $ $\in $ $\mathbb R$

Vậy nếu xét trường hợp $f$ không là hằng số thì $f(x) = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$ , điều này suy ra $f(-x^2) = -x^2$ , tức là $f(x) = x$ với mọi $x$ âm 

Mà ta lại có $f(x^2) = xf(x) = -xf(-x)$ nên $f(-x) = -f(x)$ , kết hợp $2$ điều này suy ra $f(x) = x$ với mọi $x$ 

Vậy $f(x) = x$ hoặc $f \equiv 0$  $\forall $ $x$ $\in $ $\mathbb R$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 26-10-2017 - 22:56





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh