Chủ đề này có 1 trả lời

[quetruong03]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{\sqrt {{a^5} + {b^2} + ab + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^5} + {c^2} + bc + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^5} + {a^2} + ac + 6} }} \le 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quetruong03: 04-10-2017 - 22:23

[HoangKhanh2002]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{\sqrt {{a^5} + {b^2} + ab + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^5} + {c^2} + bc + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^5} + {a^2} + ac + 6} }} \le 1$

Bất đẳng thức phụ: $x^5-x^2+3\geqslant 3x$, chứng minh bằng biến đổi tương đương: $\Leftrightarrow (x-1)^2(x^3+2x^2+3x+1)\geqslant 0$ luôn đúng

Đánh giá: $a^5+b^2+ab+6=(a^5-a^2+3)+(a^2+b^2)+ab+3 \geqslant 3a+3ab+3=3(a+ab+1)$. Tương tự với 2 cái kia

Do đó: $\frac{1}{{\sqrt {{a^5} + {b^2} + ab + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^5} + {c^2} + bc + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^5} + {a^2} + ac + 6} }} \\\leqslant \sqrt{3\left ( \dfrac{1}{a^5+b^2+ab+6}+\dfrac{1}{b^5+c^2+bc+6}+\dfrac{1}{c^5+a^2+ac+6} \right )}\\\leqslant \sqrt{\dfrac{1}{3(a+ab+1)}+\dfrac{1}{3(b+bc+1)}+\dfrac{1}{3(c+ca+1)}}=1$

Vì với $abc=1$ dễ chứng minh được: $\dfrac{1}{a+ab+1}+\dfrac{1}{b+bc+1}+\dfrac{1}{c+ca+1}=1$