Hnay mình nói về đối đồng điều bó và đối đồng điều Cech , bắt đầu bằng đối đồng điều bó trước và kết thúc bằng đối đồng điều Cech và định lý của Serre . Mình kthuc hạn hẹp nên chưa tính toán quen chỉ dám ghi ra mấy cái dễ thôi .
Với kgian topo $X$ ta định nghĩa hàm tử
$$\Gamma : \mathbb{Sh}(X) \to \mathbb{Ab}$$ ( hoặc cũng có thể từ $\mathbb{pSh}$ )
$$\mathbb{F} \to \mathbb{F}(X)$$
Ta thấy hàm tử này khớp trong presheaves và khớp trái trong sheaf ( khớp trong pSh và Sh lần lượt trên các section và các stalk ) , phản ví dụ cho TH không khớp trong sheaf là khi $X$ là mặt phẳng phức bỏ đi gốc tọa độ . Xét dãy khớp
$$ 0 \mapsto \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{O} \mapsto \mathbb{O^{*}} \to 0$$
Trong đó $\mathbb{Z}$ là bó hằng tại $\mathbb{Z}$ và $\mathbb{O}$ là bó của các germ trong $X$ ,cuối cùng $\mathbb{O^{*}}$ là bó các hàm chỉnh hình khác không . Dễ ktra dãy này không khớp được phải .
Giờ ta thấy phạm trù bó là phạm trù Abel đồng thời có đủ vật nội xạ , vậy với mỗi bó $\mathbb{F}$ ta định nghĩa đối đồng điều $H^{n}(\mathbb{F}) = R^{n}\Gamma(\mathbb{F})$ , trong trường hợp $n = 0$ thì $H^{0}(\mathbb{F}) \cong \Gamma(\mathbb{F})$
Một bó gọi là bó nhão ( flabby chả biết đúng không ) nếu mọi $U \subset X$ mở thì $\Gamma(X) \to \Gamma(U)$ là epic , tức là mọi section trong $U$ có thể mở rộng thành section trong $X$ , lấy ví dụ hàm tử chọc trời ( skyscraper ) .
Bây giờ nếu $\mathbb{F}$ là một bó abel của $X$ ta sẽ tìm cách định nghĩa giải thức Godement , ta có base step là một bó
$$G^{0}\mathbb{F}(U) = \prod_{x \in U} \mathbb{F}_{x}$$
Godement sheaf bậc $0$ là flabby ( có thể dễ dàng ktra điều này ) ta có một phép nhúng tự nhiên $0 \to \mathbb{F} \to G^{0}\mathbb{F}$ và từ đó xây dựng giải thức Godement
$$0 \to \mathbb{F} \to G^{0}\mathbb{F} \to G^{1}\mathbb{F} \to .... \to G^{n}\mathbb{F} \to ... $$
Định lý : Gọi $(G^{*}\mathbb{F})^{\mathbb{F}}$ là giải thức delete Godement khi đó ta có $H^{q}((G^{*}\mathbb{F})^{\mathbb{F}}) \cong H^{q}(\mathbb{F})$
Đối đồng điều Cech thì tổng quát hóa đối đồng điều thông thường , nó dễ tính hơn đối đồng điều bó . Vẫn gọi $X$ là một không gian topo và $U=(U_{i})_{i \in I}$ là một phủ mở của $X$ thế thì Nerve của $U$ là simplicial complex trừu tượng với các đỉnh là $U_{i}$ và một $q$ - simplex là một bộ $[U_{i_{0}},...U_{i_{q}}]$ sao cho $\bigcap_{i=0}^{q}U_{i} \neq \varnothing$
Giờ ta đặt $C^{q}(U,\mathbb{F}) = \prod_{[U_{i_{0}},...,U_{i_{q}}]} \mathbb{F}( \bigcap_{i=i_{0}}^{i_{q}} U_{i})$ . Một $q$ - cochain nếu tổng quát hóa lên chẳng qua là một hàm :
$$f : \sum_{q} \to \bigcup_{\sigma \in \sum_{q}} \mathbb{F}(U_{\sigma})$$ trong đó $U_{\sigma} = \bigcap_{i \in \sigma} U_{i}$
Ta định nghĩa các vi phân $\delta^{q} : C^{q}(U,\mathbb{F}) \to C^{q+1}(U,\mathbb{F})$ bởi $(\delta^{q}f)([U_{i_{0}},...U_{i_{q+1}}]) = \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^{j}f([U_{i_{0}},...\widehat{U_{i_{j}}},...U_{i_{q+1}}])$ và do đó định nghĩa được đối đồng điều ( tuy nhiên đây chưa phải Cech ) $\widehat{H^{q}}(U,\mathbb{F})$ , đáng lẽ là đây đã là Cech rồi duy chỉ gặp vấn đề là từ một dãy khớp ngắn của sheaf nó không tạo ra dãy khớp dài , tuy nhiên khéo léo modify bằng cách lấy direct limit thì ta được đối đồng điều Cech : $\widehat{H}^{n}(\mathbb{F}) = \lim \widehat{H}^{n}(U,\mathbb{F})$ trong đó $U$ là phủ mở của $X$ không có repeat term , dĩ nhiên có thể cm định nghĩa này không phụ thuộc việc chọn phụ mở .
Một số kết quả
$1)$ Nếu $\mathbb{F}$ là một bó nội xạ thì $\widehat{H}^{n}(\mathbb{F})=0 \forall n \geq 1$
$2)$ ( Serre ) Nếu $0 \to \mathbb{F'} \to \mathbb{F} \to \mathbb{F"} \to 0$ là dãy khớp ngắn các bó khi đó ta có dãy khớp :
$$0 \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F"}) \to \widehat{H}^{1}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{1}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{1}(\mathbb{F"})$$
$3)$ Khi $X$ là Paracompact thì :
$$0 \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F"}) \to ...\to \widehat{H}^{q}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{q}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{q}(\mathbb{F"}) \to ...$$
$4)$ Khi $\mathbb{F}$ là bó trên $X$ là paracompact thì đối đồng điều bó và đối đồng điều Cech đẳng cấu
$5)$ Nếu $X$ là compact Hausdorff thì $H^{q}(\mathbb{F}) = 0$ với $q$ đủ lớn .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-10-2017 - 02:47