Đến nội dung

Hình ảnh

Lý thuyết bó và đối đồng điều bó

sheaf theory

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mình đang học đối đồng điều bó và dĩ nhiên kiến thức chuẩn bị phải gồm , covering space , đối đồng điều , presheave , sheaf , etable-sheaf dĩ nhiên có cả phạm trù abel nữa . Đây có lẽ là cái khó nhất mình từng học . Mình chưa thực sự hiểu nó lắm nếu chỉ đọc concept , vậy nếu ai học rồi có thể nêu ra lịch sử và motive của nó . Về cơ bản có xác định global data thông qua local data , ví dụ đơn giản nhất là lấy các hàm trên tập mở , nếu nó không khả vi ở điểm nào đó thì có thể restrict nó xuống tập mở nhỏ hơn sao cho khả vi , vậy đặc trưng của nó phải là contravariant nên đi đến định nghĩa trừu tượng " sơ bó " , khi ta thêm các điều kiện " dán " vào thì thành bó . Phạm trù các bó đẳng cấu với phạm trù etable- bó . Và ta có đối đồng điều bó và đối đồng điều Cech .

Rất vui nếu ai chỉ ra lịch sử và motive của nó , chỉ biết được invent bởi Jean Leray 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-10-2017 - 00:25

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Một chút lịch sử : 

$1936$ Eduard Cech giới thiệu về " nerve " , kết nối phức đơn hình với phủ mở . 

$1938$ Hassler Whitney đưa ra một khái niệm hiện đại cho đối đồng điều , J.W.Alexandre và Kolmogorov lần đầu định nghĩa đối xích ( cochains ) 

$1943$ Norman Steenrod công bố đồng điều với hệ số địa phương ( local coefficients ) 

$1945$ Jean Leray công bố công trình " prisoner of war " , motive bởi chứng minh định lý điểm bất động , ứng dụng vào lý thuyết pt đạo hàm riêng , đây là điểm khởi đầu của sheaf theory và dãy phổ .

$1947$ Henri Cartan chứng minh lại định lý de Rham bằng phương pháp bó , cùng với Andre Weil . Leray đưa ra khái niệm bó trong bài giảng của ông thông qua các tập đóng . 

$1948$ Seminar Cartan đưa ra lý thuyết bó lần đầu tiên . 

$1950$ Bản thứ hai của lý thuyết bó từ seminar của Cartan , khái niệm không gian bó ( espace etale ) đã được sử dụng , cùng với cấu trúc stalkwise . Supports cũng được giới thiệu và đối đồng điều cùng supports . Ánh xạ liên tục dẫn tới dãy phổ . Cùng thời điểm đó Kiyoshi Oka giới thiệu một ý tưởng của nó trong giải tích phức nhiều biến . 

$1951$ Cartan seminar chứng minh định lý A và B dựa trên công trình của Oka .

$1954$ bài báo của Serre Faisceaux algébriques cohérents ( công bố $1955$ )  giới thiệu bó vào hình học đại số . Những ý tưởng này ngay lập tức được khai thác bởi Hirzebruch , người viết cuốn phương pháp topo năm $1956$ .

$1955$ Alexander Grothendieck trong một bài giảng ở Kansas định nghĩa phạm trù Abel và sơ bó ( presheaf ) bằng cách sử dụng giải thức xạ ảnh cho phép trực tiếp sử dụng đối đồng điều bó trên không gian topo như là các hàm tử dẫn xuất . 

$1956$ Oscar Zariski báo cáo về lý thuyết bó đại số . 

$1957$ Grothendieck trong bài báo Tohoku đã viết lại đại số đồng điều , chứng minh đối ngẫu Grothendieck .

$1957$ Grothendieck mở rộng lý thuyết bó vì nhu cầu của hình học đại số , giới thiệu khái niệm lược đồ ( schemes ) và mở rộng bó trên chúng , đối đồng điều đại phương , phạm trù dẫn xuất , và Topo Grothendieck . 

$1958$ cuốn sách của Godement về lý thuyết bó được xuất bản , gần thời điểm đó Mikio Sato đề xuất các siêu hàm ( hyperfunctions ) , mang bản chất của lý thuyết bó . 

Lý thuyết bó trở thành một trong các chủ đề chính của toán học , được sử dụng không chỉ trong topo đại số . Sau đó nó còn được phát hiện là logic trong phạm trù của bó là logic trực giác . Cho thấy vài mặt của lý thuyết bó có thể được tìm lại từ Leibniz . 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Hnay mình nói về đối đồng điều bó và đối đồng điều Cech , bắt đầu bằng đối đồng điều bó trước và kết thúc bằng đối đồng điều Cech và định lý của Serre . Mình kthuc hạn hẹp nên chưa tính toán quen chỉ dám ghi ra mấy cái dễ thôi . 

Với kgian topo $X$ ta định nghĩa hàm tử

$$\Gamma : \mathbb{Sh}(X) \to \mathbb{Ab}$$ ( hoặc cũng có thể từ $\mathbb{pSh}$ )

$$\mathbb{F} \to \mathbb{F}(X)$$

Ta thấy hàm tử này khớp trong presheaves và khớp trái trong sheaf ( khớp trong pSh và Sh lần lượt trên các section và các stalk ) , phản ví dụ cho TH không khớp trong sheaf là khi $X$ là mặt phẳng phức bỏ đi gốc tọa độ . Xét dãy khớp

$$ 0 \mapsto \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{O} \mapsto \mathbb{O^{*}} \to 0$$

Trong đó $\mathbb{Z}$ là bó hằng tại $\mathbb{Z}$ và $\mathbb{O}$ là bó của các germ trong $X$ ,cuối cùng $\mathbb{O^{*}}$ là bó các hàm chỉnh hình khác không . Dễ ktra dãy này không khớp được phải . 

Giờ ta thấy phạm trù bó là phạm trù Abel đồng thời có đủ vật nội xạ , vậy với mỗi bó $\mathbb{F}$ ta định nghĩa đối đồng điều $H^{n}(\mathbb{F}) = R^{n}\Gamma(\mathbb{F})$ , trong trường hợp $n = 0$ thì $H^{0}(\mathbb{F}) \cong \Gamma(\mathbb{F})$ 

Một bó gọi là bó nhão ( flabby chả biết đúng không ) nếu mọi $U \subset X$ mở thì $\Gamma(X) \to \Gamma(U)$ là epic , tức là mọi section trong $U$ có thể mở rộng thành section trong $X$ , lấy ví dụ hàm tử chọc trời ( skyscraper ) . 

Bây giờ nếu $\mathbb{F}$ là một bó abel của $X$ ta sẽ tìm cách định nghĩa giải thức Godement , ta có base step là một bó 

$$G^{0}\mathbb{F}(U) = \prod_{x \in U} \mathbb{F}_{x}$$

Godement sheaf bậc $0$ là flabby ( có thể dễ dàng ktra điều này ) ta có một phép nhúng tự nhiên $0 \to \mathbb{F} \to G^{0}\mathbb{F}$ và từ đó xây dựng giải thức Godement 

$$0 \to \mathbb{F} \to G^{0}\mathbb{F} \to G^{1}\mathbb{F} \to .... \to G^{n}\mathbb{F} \to ... $$

Định lý : Gọi $(G^{*}\mathbb{F})^{\mathbb{F}}$ là giải thức delete Godement khi đó ta có $H^{q}((G^{*}\mathbb{F})^{\mathbb{F}}) \cong H^{q}(\mathbb{F})$

Đối đồng điều Cech thì tổng quát hóa đối đồng điều thông thường , nó dễ tính hơn đối đồng điều bó . Vẫn gọi $X$ là một không gian topo và $U=(U_{i})_{i \in I}$ là một phủ mở của $X$ thế thì Nerve của $U$ là simplicial complex trừu tượng với các đỉnh là $U_{i}$ và một $q$ - simplex là một bộ $[U_{i_{0}},...U_{i_{q}}]$ sao cho $\bigcap_{i=0}^{q}U_{i} \neq \varnothing$ 

Giờ ta đặt $C^{q}(U,\mathbb{F}) = \prod_{[U_{i_{0}},...,U_{i_{q}}]} \mathbb{F}( \bigcap_{i=i_{0}}^{i_{q}} U_{i})$ . Một $q$ - cochain nếu tổng quát hóa lên chẳng qua là một hàm :

$$f : \sum_{q} \to \bigcup_{\sigma \in \sum_{q}} \mathbb{F}(U_{\sigma})$$ trong đó $U_{\sigma} = \bigcap_{i \in \sigma} U_{i}$

Ta định nghĩa các vi phân $\delta^{q} : C^{q}(U,\mathbb{F}) \to C^{q+1}(U,\mathbb{F})$ bởi $(\delta^{q}f)([U_{i_{0}},...U_{i_{q+1}}]) = \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^{j}f([U_{i_{0}},...\widehat{U_{i_{j}}},...U_{i_{q+1}}])$ và do đó định nghĩa được đối đồng điều ( tuy nhiên đây chưa phải Cech ) $\widehat{H^{q}}(U,\mathbb{F})$ , đáng lẽ là đây đã là Cech rồi duy chỉ gặp vấn đề là từ một dãy khớp ngắn của sheaf nó không tạo ra dãy khớp dài , tuy nhiên khéo léo modify bằng cách lấy direct limit thì ta được đối đồng điều Cech : $\widehat{H}^{n}(\mathbb{F}) = \lim \widehat{H}^{n}(U,\mathbb{F})$ trong đó $U$ là phủ mở của $X$ không có repeat term , dĩ nhiên có thể cm định nghĩa này không phụ thuộc việc chọn phụ mở . 

Một số kết quả 

$1)$ Nếu $\mathbb{F}$ là một bó nội xạ thì $\widehat{H}^{n}(\mathbb{F})=0 \forall n \geq 1$ 

$2)$ ( Serre ) Nếu $0 \to \mathbb{F'} \to \mathbb{F} \to \mathbb{F"} \to 0$ là dãy khớp ngắn các bó khi đó ta có dãy khớp : 

$$0 \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F"}) \to \widehat{H}^{1}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{1}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{1}(\mathbb{F"})$$

$3)$ Khi $X$ là Paracompact thì :

$$0 \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{0}(\mathbb{F"}) \to ...\to \widehat{H}^{q}(\mathbb{F'}) \to \widehat{H}^{q}(\mathbb{F}) \to \widehat{H}^{q}(\mathbb{F"}) \to ...$$

$4)$ Khi $\mathbb{F}$ là bó trên $X$ là paracompact thì đối đồng điều bó và đối đồng điều Cech đẳng cấu 

$5)$ Nếu $X$ là compact Hausdorff thì $H^{q}(\mathbb{F}) = 0$ với $q$ đủ lớn . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-10-2017 - 02:47

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh