Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac37.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
quangminhltv99

quangminhltv99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x,y,z\le 1$ và $x+y+z\ge 1$. CMR $$\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac37.$$



#2
nguyenphihungctdhkhhue0508

nguyenphihungctdhkhhue0508

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x,y,z\le 1$ và $x+y+z\ge 1$. CMR $$\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac37.$$

 

BDT $ <--> (\frac{x}{3-2x} + \frac{1}{2}) + (\frac{y}{3-2y} + \frac{1}{2}) + (\frac{z}{3-2z} + \frac{1}{2}) \geq \frac{27}{14}$
$<--> \frac{3}{2}(\frac{1}{3-2x} + \frac{1}{3-2y} + \frac{1}{3-2z}) \geq \frac{27}{14}$
$<--> A = \frac{1}{3-2x} + \frac{1}{3-2y} + \frac{1}{3-2z} \geq \frac{9}{7} (*)$
 
Mặt khác ta có với $a,b,c > 0. $Theo BĐT AM - GM:
 
$(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9$
$ --> \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$
 
Áp dụng vào (*) suy ra: 
 
$A \geq \frac{9}{9 - 2(a + b + c)} \geq \frac{9}{7} (dpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenphihungctdhkhhue0508: 05-10-2017 - 16:54

Với Toán học chỉ đơn giản là đam mê :)

 

Nguyễn Phi Hùng - VCM Maintenance Engineer - http://www.ebookbkmt.com

 

Cựu học sinh Khối Chuyên Toán - Trường ĐHKH Huế Khóa 2005 - 2008

Cựu SV Khoa CN Nhiệt điện lạnh - Trường ĐHBK Đà Nẵng Khóa 2008 - 2013


#3
TrucCumgarDaklak

TrucCumgarDaklak

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết

Ta có bất đẳng thức phụ: Với $0<x\leq 1$ ta có $\frac{x}{3-2x}\geq \frac{27x-2}{49}$ $\Leftrightarrow 6\left ( 3x-1 \right )^{2}\geq 0$

Xây dựng các bất đẳng thức phụ tương tự như trên với $y$ và $z$ ta có:

$\sum \frac{x}{3-2x}\geq \sum \frac{27x-2}{49}=\frac{27\sum x-6}{49}\geq \frac{27-6}{49}=\frac{3}{7}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$



#4
ntbt273

ntbt273

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết

Kĩ thuật U.C.T khá hay 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh