Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x)f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dunglamtym

dunglamtym

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh
  • Sở thích:Mọi thứ Toán trừ lượng giác

Đã gửi 10-10-2017 - 19:47

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$



#2 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 24-10-2017 - 13:18

Xét $P(x,y)$ là phép thế vào đẳng thức ban đầu
$P(x,-x) : f(0) = 1 $
$P(x, -2x) : f(x) f(-x) = 1 -xf(-x)+x$
$P(-x , 2x) : f(x)f(-x) =1 +xf(x)-x$ (1). Kết hợp 2 điều trên ta có $f(-x) = -f(x)+2 $ với mọi $x \neq 0 $ , nhưng với $x = 0$ thì điều này vẫn đúng nên $f(-x) = -f(x)+2 $ với mọi $x$
Thế vào (1) ta nhận được $(f(x)+x-1)(f(x) - 1) = 0$
Giả sử tồn tại $a,b$ để $f(a) = 1-a , f(b) = 1$ và $a,b \neq 0 $
$P(a,b-a) : 1-a = f(a+b)$ . Thật vậy , $f(a+b) = 1$ hoặc $f(a+b) = 1- a-b $ nên hoặc $ a= 0 $ , hoặc $b = 0$ , ta có điều mâu thuẫn . Vậy $f \equiv 1$ hoặc $f(x) =1- x$ $\forall $ $x$ $\in $ $\mathbb R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 25-10-2017 - 20:47


#3 Nguyen Sarah

Nguyen Sarah

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 09-02-2019 - 20:05

Anh ơi trong phép thế đầu tiên nếu $f(x)=-x$ thì sao ạ?

 

@halloffame: bạn có thể kiểm tra rằng hàm $f(x)=-x$ không thoả mãn đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:17
Thêm phần giải thích





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh