Chủ đề này có 2 trả lời

[dunglamtym]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

[manhtuan00]

Xét $P(x,y)$ là phép thế vào đẳng thức ban đầu
$P(x,-x) : f(0) = 1 $
$P(x, -2x) : f(x) f(-x) = 1 -xf(-x)+x$
$P(-x , 2x) : f(x)f(-x) =1 +xf(x)-x$ (1). Kết hợp 2 điều trên ta có $f(-x) = -f(x)+2 $ với mọi $x \neq 0 $ , nhưng với $x = 0$ thì điều này vẫn đúng nên $f(-x) = -f(x)+2 $ với mọi $x$
Thế vào (1) ta nhận được $(f(x)+x-1)(f(x) - 1) = 0$
Giả sử tồn tại $a,b$ để $f(a) = 1-a , f(b) = 1$ và $a,b \neq 0 $
$P(a,b-a) : 1-a = f(a+b)$ . Thật vậy , $f(a+b) = 1$ hoặc $f(a+b) = 1- a-b $ nên hoặc $ a= 0 $ , hoặc $b = 0$ , ta có điều mâu thuẫn . Vậy $f \equiv 1$ hoặc $f(x) =1- x$ $\forall $ $x$ $\in $ $\mathbb R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 25-10-2017 - 20:47

[Nguyen Sarah]

Anh ơi trong phép thế đầu tiên nếu $f(x)=-x$ thì sao ạ?

 

@halloffame: bạn có thể kiểm tra rằng hàm $f(x)=-x$ không thoả mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:17
Thêm phần giải thích