Chủ đề này có 1 trả lời

[huyench147]

Cho a,b,c > 0; abc = 1. CM: a^3/(1+b)(1+c) + b^3/(1+a)(1+c) + c^3/(1+b)(1+a) >= 3/4

[nguyenphihungctdhkhhue0508]

Cho $a,b,c > 0; abc = 1$; CMR $P = \frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)} + \frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)} + \frac{c^3}{(1 + a)(1 + b)} \geq \frac{3}{4} $

 

LG:

 

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

 

$ \frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)} + \frac{1 + b}{8} + \frac{1 + c}{8} \geq \frac{3}{4}a$

$\frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)} + \frac{1 + c}{8} + \frac{1 + a}{8} \geq \frac{3}{4}b$

$\frac{c^3}{(1 + a)(1 + b)} + \frac{1 + a}{8} + \frac{1 + b}{8} \geq \frac{3}{4}c $

 

Cộng vế theo vế ta được:

 

$ P + \frac{2(a + b + c) + 6}{8} \geq \frac{3}{4}(a + b + c) $

$<--> P \geq \frac{1}{2}(a + b + c) - \frac{3}{4}$

$--> P \geq \frac{3}{4} (dpcm)$