Chủ đề này có 5 trả lời

[slenderman123]

CMR: $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3 $ với $abc=1$

[trieutuyennham]

CMR: $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3 $ với $abc=1$

Ta có bài toán sau

Với a;b;c thỏa mãn abc=1 thì ta có bđt

$\sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{a^{4}+a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 2$

Ta sẽ cm 

$\frac{1}{a^{2}-a+1}\leq \frac{3}{2}.\frac{a^{4}+a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}-a+1)\geq 0$

tương tự rồi cộng vế suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieutuyennham: 12-10-2017 - 17:22

[nguyen kd]

Ta có bài toán sau

Với a;b;c thỏa mãn abc=1 thì ta có bđt

$\sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{a^{4}+a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 2$

Ta sẽ cm 

$\frac{1}{a^{2}-a+1}\leq \frac{3}{2}.\frac{a^{4}+a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}-a+1)\geq 0$

tương tự rồi cộng vế suy ra đpcm

Tính nhầm cái này rồi bạn

$\frac{1}{{{a^2} - {a} + 1}} \le \frac{3}{2}.\frac{{{a^4} + {a^2}}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \Leftrightarrow {(a - 1)^2}({a^2} - a + 1) \ge 0$

 

Phép biến đổi đúng là:

$\frac{1}{{{a^2} - {a} + 1}} \le \frac{3}{2}.\frac{{{a^4} + {a^2}}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \Leftrightarrow (a - 1)(3{a^3} + 3{a^2} + 4a + 2) \ge 0$

 

Tới đây không giải quyết được gì cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 12-10-2017 - 22:23

[nguyen kd]

$\sum {\frac{1}{{\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + 1}} = } \sum {\frac{{{a^4}}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \ge 1 \Rightarrow } \sum {\frac{{{a^2} + 1}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \le 2 \Rightarrow } \sum {\frac{{2({a^2} + 1)}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \le 4}$

Do $\sum {\left( {\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \frac{1}{{{a^2} - a + 1}}} \right) = } \sum {\frac{{({a^2} - a + 1) + ({a^2} + a + 1)}}{{({a^2} + a + 1)({a^2} - a + 1)}} = } \sum {\frac{{2({a^2} + 1)}}{{{a^4} + {a^2} + 1}}}$

$\Rightarrow \sum {\left( {\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \frac{1}{{{a^2} - a + 1}}} \right)}  \le 4$  mà $\sum {\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} \ge 1 \Rightarrow } \sum {\frac{1}{{{a^2} - a + 1}} \le 3}$

[nguyen kd]

Xuất phát từ chỗ

Hình gửi kèm

• 

[DOTOANNANG]

Bất đẳng thức sau còn có mở rộng khác thú vị hơn như sau:

$ a, b, c$ là 3 số không âm, ta có bất đẳng thức sau:

$3\left ( 1- a+ a^{2} \right )\left ( 1- b+ b^{2} \right )\left ( 1- c+ c^{2} \right )\geq 1+ abc+ a^{2}b^{2}c^{2}$