Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 môn toán tỉnh Phú Yên
#1
Đã gửi 11-10-2017 - 23:41
#2
Đã gửi 12-10-2017 - 11:56
Câu 3. Ta cần chứng minh
$P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}\geq \sqrt{3}abc$
$\Leftrightarrow (a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}= 3a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$(luôn đúng)
- Drago yêu thích
Đặng Minh Đức CTBer
#4
Đã gửi 12-10-2017 - 21:15
a)
$f(x)=1+\frac{3}{x+1}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ \ ${1}$
Ta có $u_{1} < u_{3}$ thì $f(u_{1}) > f(u_{3})$
<=> $u_{2} > u_{4}$
<=> $f(u_{2}) < f(u_{4})$
<=> $u_{3} < u_{5}$
Cứ tiếp tục như thế ta thu được $u_{2n}$ là dãy giảm và $u_{2n+1}$ là dãy tăng
Đặt $x,y$ lần lượt là $lim$ của $u_{2n}$ và $u_{2n+1}$ , dễ thấy $x,y >1$
ta thấy $u_{2n+1}=1+\frac{3}{u_{2n}+1}$ do đó nếu lấy giới hạn 2 vế ta được $y=1+\frac{3}{x+1}$ $(1)$
tương tự $x=1+\frac{3}{y+1}$ $(2)$
$(1)-(2)=(y-x)[1-\frac{3}{(x+1)(y+1)}]=0$
Mà do $x,y>1$ cho nên $1-\frac{3}{(x+1)(y+1)} > 0$ do đó $x=y$ , giải $(2)$ ra ta được $x=y=2$
b) $S=\sum_{k=1}^{2020}u_{k}=\sum_{k=0}^{1009}u_{2k+1}+\sum_{k=1}^{1010}u_{2k}$
Do dãy $u_{2n}$ giảm cho nên $\sum_{k=1}^{1010}u_{2k} < 1010.u_{2}=2525$ $(3)$
Do dãy $u_{2n+1}$ tăng và có giới hạn bằng 2 cho nên $\sum_{k=0}^{1009}u_{2k+1} < 1010.2=2020$ $(4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $S < 2020+2525=4545$
Edit : xém tí quên chỉ ra dãy bị chặn, do $u_{n} $ $\geq$ $1$ nên $u_{n+1}=1+\frac{3}{u_{n}+1} \leq 1+\frac{3}{2}=2,5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 13-10-2017 - 12:26
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh