Chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận vuông cùng cấp $A, B$ thỏa mãn $AB - BA = I$.
#2
Đã gửi 12-10-2017 - 21:36
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận vuông cùng cấp $A, B$ thỏa mãn $AB - BA = I$.
Đề bài này sai. $A$ và $B$ ở đây là hai ma trận không rõ là với hệ số trong trường nào? Nếu chọn trường là $\mathbb{K}=\mathbb{F}_{2}$ thì xét các ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ sẽ ngay lập tức có $$AB-BA=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Còn nếu chọn trường $\mathbb{K}$ có đặc số $0$, thì đề bài này sẽ đúng. Lý do là bởi vì $trace(AB-BA)=0$ trong khi $trace(I)=n.1_{\mathbb{K}}$ mà trong trường có đặc số bằng $0$ thì $n.1_{\mathbb{K}}\neq 0$.
- Ruby Dalek yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
