Chủ đề này có 7 trả lời

[giomienque]

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

$\boxed{1}$ [Quảng Ninh] Cho ba số thực dương $a;\, b;\, c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{2a + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2b + 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2c + 1}} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6} }}\]
$\boxed{2}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left ( x^2-\left ( f\left ( y \right ) \right )^2 \right )=x.f(x)+y^2\quad \forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
$\boxed{3}$ [Quảng Ninh]Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn:
\[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\]

• Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
• Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
  \[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]

$\boxed{4}$ [Nghệ An] Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$:
\[ \begin{cases}\sqrt {xy - {x^2}} + 9\sqrt {xy + {x^2}} &= 16y\\
xy - 5x - 4y &= 80 \end{cases}\]
$\boxed{5}$ [Nghệ An] Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi $a_1>3$ và \[a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_{n}}\quad \forall n \geq 1;\, n \in \mathbb{N}\]
Xác định số thực dương $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$:
\[\sqrt{x^2+a_{1}^2}+\sqrt{x^2+a_{2}^2}
+...+\sqrt{x^2+a_{n}^2}
>n\sqrt{x^2+a^2}.\]
$\boxed{6}$ [Nghệ An] Tìm tất cả các hàm đơn điệu: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f(x+f(y))=f(x)+y^n\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
Trong đó $n$ là số nguyên dương cho trước.
$\boxed{7}$ [Quảng Trị] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thay đổi và thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {6 - \frac{x}{y} - \frac{y}{z} - \frac{z}{x}} \right)\]
$\boxed{8}$ [Quảng Trị] Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a;\,b;\,c;\,d$ là các hằng số thực thoả mãn $f(-1)=100;\,f(-2)=200$ và $f(-3)=300$. Tính giá trị của biểu thức
\[P = \frac{{f\left( {10} \right) + f\left( { - 14} \right)}}{{16}} - 582.\]
$\boxed{9}$ [Tiền Giang] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {x + y} \right) \ge f\left( x \right)f\left( y \right) \ge {2017^{x + y}}\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{10}$ [Tiền Giang] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:

• $f(1)=1.$
• $f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.$
• $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^2}\quad\forall\,x\ne 0.$

Tính $f\left(\sqrt{2017}\right)$.

$\boxed{11}$ [Hà Nam] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {f\left( x \right) + ay} \right) = \left( {{a^2} + a} \right)x + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
Trong đó $a$ là một hằng số và $a\notin\{0;\,-1\}$.

$\boxed{12}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng mình rằng
\[\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1.\]
$\boxed{13}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho số nguyên dương $n$ và đa thức hệ số thực
\[P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\]
Biết rằng $P(0);\,P(1);\,\ldots;\,P(n)$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $P(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$.

$\boxed{14}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = {x^2} + f\left( x \right) + f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{15}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
\[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]
$\boxed{16}$ [Đồng Nai] Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( y \right) - yf\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{17}$ [Đồng Tháp] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng
\[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2.\]
$\boxed{18}$ [Đồng Tháp] Tìm các đa thức $P(x)$ có bậc không vượt quá 3 và thoả mãn
\[P\left( {6{x^2} - x - 1} \right) + P\left( {1 - 6{x^2} - x} \right) = 1 + {P^2}\left( {2x} \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{19}$ [Đắk Lắk] Cho các số thực dương $a;\,b$ với $a>b$, và bất phương trình
\[x^2-(a+b)x+ab\le 0\]
Giả sử $x_1;\,x_2;\,\ldots;\,x_n$ là các nghiệm của bất phương trình trên, chứng minh rằng
\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}} \right)}^2}}}{{n\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right)}} \ge \frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
$\boxed{20}$ [Đắk Lắk] Tìm các đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ thoả mãn
\[\left( {{x^2} + 2x} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)P\left( x \right) + 2{x^2} + 2x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{21}$ [Đắk Lắk] Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}\dfrac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {1 + xy} }}&=0\\
\sqrt {\left( {2x - 2} \right)\left( {y + 5} \right)} + \sqrt {\left( {2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} &= 3 + 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 5} } \right)
\end{cases}\]
$\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

•  
• Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
• Tìm hàm $f(x)$.

$\boxed{23}$ [Tây Ninh] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả $xyz=1$, chứng minh rằng
\[\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3} + 2{y^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{y^3} + 2{z^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{z^3} + 2{x^3} + 6}}}} \le \sqrt 3 \]
$\boxed{24}$ [Tây Ninh] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn
\[f\left( {f\left( n \right)} \right) + 2f\left( n \right) = 3n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb N.\]
$\boxed{25}$ [Đà Nẵng] Với mỗi số thực $t$, gọi $g(t)$ là số các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {xy + f\left( y \right)} \right) = t + yf\left( x \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
Tìm hàm số $g(t)$.


$\boxed{26}$ [Hà Tĩnh] Cho các số thực không âm $a;\,b;\,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng
\[\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c - abc} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\]
$\boxed{27}$ [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba:
\[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4\]

•  
• Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất.
• Gọi các nghiệm dương của $P(x),\, Q(x)$ lần lượt là $p;\, q$. Chứng minh rằng: \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\]

$\boxed{28}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
\[xP\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)P\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{29}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
\[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {2{x^2} - 1} \right) + 3\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{31}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{32}$ [Đắk Nông] Tìm các hàm số $f:\, \left(0;\,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = {x^2}f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{33}$ [Đắk Nông] Trong tập hợp $[-1;\,1]$, lấy bất kì các giá trị $x;\,y;\,z$ thoả mãn có tổng bằng 0 và tổng bình phương bằng 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P=x^{2018}+y^{2018}+z^{2018}.\]
$\boxed{34}$ [Đắk Nông] Biết rằng $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Chứng minh rằng: \[x+y+z \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.\] Dấu "=" xảy ra khi nào?


$\boxed{35}$ [Hà Nội] Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: \[f(\tan x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x\quad \forall x\in \left ( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right )\]
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
\[f\left(\sin^2x \right)f\left(\cos^2x\right);\quad (x\in \mathbb{R})\]
$\boxed{36}$ [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho:
\[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1\quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
$\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\]
$\boxed{38}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thoả mãn $P(2017)=1$, và $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.


$\boxed{39}$ [Thanh Hoá] Cho dãy số: $a_{0};\,a_{1};\,a_{2};\,...$ thoả mãn: \[a_{m+n}+a_{m-n}=\dfrac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})\quad\forall\,m;\,n \in \mathbb N,\; m\geqslant n.\] Nếu $a_{1}=1$, hãy xác định: $a_{2017}$.


$\boxed{40}$ [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) \quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
$\boxed{41}$ [Huế] Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh tồn tại $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho :
\[0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i.\]
$\boxed{42}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P\left(\sqrt [3]{3}\right)=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.


$\boxed{43}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$. Chứng minh rằng: \[\dfrac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \dfrac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \dfrac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geqslant 0.\]
$\boxed{44}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {\left( {x - y} \right)f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( {y - x} \right) + x = 0\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{45}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + \frac{9}{{2(ab + bc + ca)}} \ge \frac{9}{2}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giomienque: 12-10-2017 - 22:51

[LoveMathematic]

$\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

•  
• Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
• Tìm hàm $f(x)$.

Xét $P(x;\,y)$ là khẳng định $f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)$ và gọi $\ker (f)=\{x\in\mathbb R:\;f(x)=0\}$.

Ta thấy $f$ không thể là hàm hằng nên từ $P(0;\,x)$ đúng với mọi $x$ ta có $0\in\ker(f)$. Từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$, ta có
\[f\left( {xf\left( x \right)} \right) = {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(*)\]
Lấy $r\in\ker(f)$ bất kỳ, vì $f(r)=0$ nên ta có
\[0=f(0)=f\left( {rf\left( r \right)} \right) = {r^2}\]
Vậy $\ker(f)=\{0\}$.

• Do $\ker(f)=\{0\}$ nên để chứng minh $f$ là đơn ánh, ta chỉ cần chỉ ra nếu $f(u)=f(v)$ và $uv\ne 0$ thì $u=v$. Thật vậy, nếu $uv\ne 0$ và $f(u)=f(v)=m\ne 0$ thì từ $P(u;\,v-u)$ đúng ta có
  \[f\left( {um} \right) = f\left( {uf\left( v \right)} \right) = f\left( {u\left( {u + v - u} \right)} \right) = {u^2} + f\left( {\left( {u - v} \right)f\left( u \right)} \right) = {u^2}+f\left( {\left( {u - v} \right)m} \right)\]
  Nhưng từ $(*)$ ta lại có
  \[u^2=f(uf(u))=f(um)\]
  Như vậy $u^2=u^2+f((u-v)m)$, tức $(u-v)m\in\ker(f)$ điều này kết hợp với $m\ne 0$ và $\ker(f)=\{0\}$ cho ta $u=v$.
  
  Vậy $f$ là đơn ánh.
• Do $f$ là đơn ánh và từ $(*)$ ta có
  \[f(xf(x))=x^2=(-x)^2=f(-xf(-x))\quad\forall\,x\in\mathbb R\]
  Cho nên $xf(x)=-xf(-x)\;\forall\,x\in\mathbb R$ kết hợp $f(0)=0$ cho ta $f(-x)=-f(x)\;\forall\,x\in\mathbb R$.
  
  Do $P(x+y;\,y),\;P(y;\,-x-y)$ và $P(x;\,y)$ đúng với mọi $x;\,y\in\mathbb R$ nên
  \[\begin{align*}
  f\left( {\left( {x + y} \right)f\left( y \right)} \right) &= {\left( {x + y} \right)^2} + f\left( { - xf\left( {x + y} \right)} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} - f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right)\\
  - f\left( {yf\left( {x} \right)} \right) &= f\left( {yf\left( { - x } \right)} \right) = {y^2} + f\left( {\left( { - x - y} \right)f\left( y \right)} \right) = {y^2} - f\left( {\left( {x + y} \right)f\left( y \right)} \right)\\
  f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) &= {x^2} + f\left( y{f\left( x \right)} \right)
  \end{align*}\]
  Từ đó rút ra được
  \[f(yf(x))=xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R;\,(**)\]
  Giả sử $f(1)=k$, từ $(*)$ ta có $f(k)=f(1f(1))=1$, cũng từ $(*)$ lại có
  \[f(k)=f(kf(k))=k^2\]
  Cho nên $k=1$ hoặc $k=-1$.
  • Với $k=1$ từ $(**)$ cho $x=1$ để có $f(y)=y\;\forall\,y\in\mathbb R$.
  • Với $k=-1$ có $f(-1)=1$ nên từ $(**)$ cho $x=-1$ để có $f(y)=-y\;\forall\,y\in\mathbb R$.
• Như vậy có hai nghiệm hàm thoả mãn là $f_1(x)=x$ và $f_2(x)=-x$.

[LoveMathematic]

$\boxed{48}$ [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
\[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]

Từ $2x^2+8x+6=2(x+2)^2-2$, nên ta có
\[P\left( {x - 2} \right)P\left( {x - 1} \right) = P\left( {2{x^2} - 2} \right),\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Đặt $P(x-2)=Q(x)$ ta có
\[Q(x)Q(x+1)=Q\left(2x^2\right),\quad\forall\,x\in \mathbb{R}.\]
Thay $x$ bởi $\dfrac{1}{2}x$ và đặt $Q\left(\dfrac{1}{2}x\right)=p(x)$, cho ta
\[p(x)p(x+2)=p\left(x^2\right),\quad\forall\,x\in \mathbb{R}.\]
Rõ ràng nếu $\deg(p)\le 0$ thì ta chỉ có $p(x)=0$ và $p(x)=1$ thoả, nên sau đây ta chỉ xét trường hợp $\deg(p)>0$.

Đặt $p(x)=(x-1)^nf(x)$ với $f(x)\in\mathbb R^*[x],\;n\in\mathbb N$ đồng thời $f(1)\ne 0$. Thay vào ràng buộc trên và rút gọn ta được
\[f(x)f\left( {x + 2} \right) = f\left( {{x^2}} \right),\quad\forall\,x\in\mathbb R.\;(*)\]
Đến đây, có 2 hướng giải cho bài toán như sau.

Cách 1. Giả sử $\deg(f)=m\in\mathbb N$, từ $(*)$ đồng nhất hệ số bậc cao nhất cho thấy ta có thể viết $f(x)$ dưới dạng
\[f(x)=(x-1)^m+g(x),\;g(x)\in\mathbb R[x],\,\deg(g)=k<m\]
Thay vào $(*)$ và rút gọn ta được
\[{\left( {x - 1} \right)^m}g\left( {x + 2} \right) + {(x+1)^m}g\left( x \right) = g\left( {{x^2}} \right);\;(**)\]
Bậc ở vế trái của $(**)$ là $m+k$ còn bậc ở vế phải của $(**)$ là $2k$. Từ $m+k>2k$ và $g(1)\ne 0$ ta thấy không xảy ra trường hợp này.

Từ $p(x)=a(x-1)^n\;\forall\,x\in\mathbb R$ ta có $Q(x)=p(2x)=(2x-1)^n$, để có
\[P(x)=Q(x+2)=a(2x+3)^n;\,a\in \{0;\,1\};\,n\in\mathbb N.\]

Cách 2. Nếu $\deg(f)>0$ thì $f(x)$ luôn có một nghiệm phức $\alpha$ nào đó, từ $(*)$ lại có
\[f\left( {{\alpha ^2}} \right) = f\left( \alpha \right)f\left( {\alpha + 2} \right) = 0 = f\left( \alpha \right)f\left( {\alpha - 2} \right) = f\left( {{{\left( {\alpha - 2} \right)}^2}} \right)\]
Do đó, $f(x)$ cũng luôn nhận $\alpha^2$ và $\left(\alpha-2\right)^2$ làm nghiệm, đồng thời do $\alpha\ne 1$ cho nên ta có đánh giá sau
\[\left| {{\alpha ^2}} \right| + \left| {{{\left( {\alpha - 2} \right)}^2}} \right| = 2{\left| {\alpha - 1} \right|^2} + 2 > 2\]
Tức là $f(x)$ luôn có một nghiệm phức $r$ thoả $\left|r_*\right|>1$, từ đây dẫn đến điều mâu thuẫn là $f(x)$ có vô số các nghiệm ở dạng $r_k=\left(r_*\right)^{2^k}$ với $k\in \mathbb{Z}^+$.

Vậy, $f(x)$ là đa thức hằng và ta có các nghiệm của bài toán là như đã nêu ở cuối cách giải 1.

[LoveMathematic]

$\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

$\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\]

Gọi mệnh đề: "$f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}$ đúng với $x;\,y$" là $P(x;\,y)$.

Từ $P(x;\,0)$ và $P(0;\,x)$ đúng ta có
\[\begin{align*}
f\left( {{x^2}} \right) &= {f^2}\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(1).\\
f\left( x \right)f\left( { - x} \right) &= f\left( 0 \right) - {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(2).
\end{align*}\]
Đặt $f(0)=k$ từ $P(0;\,0)$ đúng ta có $k^2=k$ nên xét

• Nếu $k=1$, từ $(1)$ và $(2)$ có luôn $f(1)=f(-1)=0$, lại vì $P(1;\,1)$ đúng mà có
  \[\begin{array}{l}
  0 = f\left( {{1^2}} \right) = f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) + {1^2} = f\left( 2 \right) + 1\\
  0 = f\left( { - 1} \right) = f\left( { - 2} \right)f\left( 0 \right) + {\left( { - 1} \right)^2} = f\left( { - 2} \right) + 1
  \end{array}\]
  Tức $f(-2)=f(2)=-1$, nhưng điều này mâu thuẫn khi ta thay $x=2$ vào $(2)$.
• Nếu $k=f(0)=0$, từ $(1)$ ta có luôn
  \[{f^2}\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {{{\left( { - x} \right)}^2}} \right) = {f^2}\left( { - x} \right)\]
  Điều này kết hợp với $f(x)f(-x)=-x^2$ có được từ $(2)$ mà có
  \[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R\]
  Từ đây và $(1)$ có $f\left(x^2\right)=x^2\quad\forall\,x\in\mathbb R$, tức là
  \[f\left( x \right) = x\quad\forall\,x\in [0;\,+\infty)\]
  Kết hợp điều này với $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R$ cho ta nghiệm hàm
  \[f\left( x \right) = x\quad\forall\,x\in\mathbb R\]

Tóm lại có nghiệm hàm duy nhất là $f\left( x \right) = x\quad\forall\,x\in\mathbb R$.[

[LoveMathematic]

$\boxed{40}$ [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) \quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]

Gọi $P(x;\,y)$ là mệnh đề: $f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) $ đúng với $x;\,y$.

Từ $P(0;\,0)$ có $f(0)=0$, sau đó từ $P(x;\,0)$ có
\[f\left( {{x^3}} \right) = xf\left( {{x^2}} \right)\quad\forall \,x \in \mathbb{R}\]
Từ đây có ngay $f$ là hàm lẻ, đồng thời
\[xf\left( {{x^2}} \right) + yf\left( {{y^2}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right) - f\left( {xy} \right)} \right)\quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
Rút gọn lại ta được
\[yf\left( {{x^2}} \right) + xf\left( {{y^2}} \right) = \left( {x + y} \right)f\left( {xy} \right)\quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R};\;(1)\]
Thế $y$ bởi $-y$ vào đẳng thức trên với chú ý rằng $f$ lẻ, để có
\[\left( {y - x} \right)f\left( {xy} \right) = \left( {x - y} \right)f\left( { - xy} \right) = - yf\left( {{x^2}} \right) + xf\left( {{y^2}} \right)\quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R};\;(2)\]
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ để có
\[2yf\left( {xy} \right) = xf\left( {{y^2}} \right)\quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
Giờ cho $y=1$ để có nghiệm hàm $f(x)=kx$ với $k$ là một hằng số thực, hàm này thoả mãn khi ta thử lại.

[LoveMathematic]

$\boxed{27}$ [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba:
\[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4\]

• Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất.
• Gọi các nghiệm dương của $P(x),\, Q(x)$ lần lượt là $p;\, q$. Chứng minh rằng: \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\]

• Có $P(0)P(3)<0$ và $Q(0)Q(1)<0$, nên theo định lý hàm liên tục thì chắc chắn $P(x)$ và $Q(x)$ có các nghiệm thực dương.
  
  Nếu $P(x)$ có hai nghiệm thực dương, thế thì theo Viettè tích các nghiệm của $P(x)$ là 16 nên nó có cả ba nghiệm thực dương, nhưng điều này dẫn đến vô lý vì cũng theo Viettè thì tổng các nghiệm của $P(x)$ là -2.
  
  Tương tự, theo Viettè tổng các nghiệm của $Q(x)$ là -3 còn tích chúng là 4, nên $Q(x)$ không thể có hai nghiệm thực dương.
  
  Vậy, mỗi đa thức đã cho có và có duy nhất một nghiệm thực dương.
• Đặt $\sqrt q =r$ thế thì do $q$ là nghiệm thực dương của $Q(x)$ và $q=r^2$, nên $r$ là nghiệm thực dương của đa thức
  \[Q\left( {{x^2}} \right) = {x^6} + 3{x^4} + 8{x^2} - 4\]
  Để ý rằng
  \[Q\left( {{x^2}} \right) =\left( {{x^3} - {x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 2} \right)\]
  Đồng thời lại có đánh giá
  \[{x^3} - {x^2} + 2x + 2 = x{\left( {x - 1} \right)^2} + {x^2} + x + 2 > 0\;\forall\,x>0\]
  Vậy nên có ${{r^3} + {r^2} + 2r - 2}=0 $, lại xét
  \[\begin{align*}
  P\left( {{{\left( {r + 1} \right)}^2}} \right) &= {\left( {r + 1} \right)^6} + 2{\left( {r + 1} \right)^2} - 7{\left( {r + 1} \right)^2} - 16\\
  &= {r^6} + 6{r^5} + 17{r^4} + 28{r^3} + 20{r^2} - 20\\
  &= \left( {{r^3} + {r^2} + 2r - 2} \right)\left( {{r^3} + 5{r^2} + 10r + 10} \right)\\
  &= 0
  \end{align*}\]
  Vậy $(r+1)^2$ là nghiệm dương của $P(x)$, tức $p=(r+1)^2=\left(1+\sqrt q\right)^2$, và ta có điều phải chứng minh sau khi lấy căn bậc hai.

[LoveMathematic]

$\boxed{36}$ [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho:
\[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1\quad \forall x \in \mathbb{R}.\]

Nếu tồn tại đa thức $P$ thoả yêu cầu với $\deg(P)>0$, ta giả sử $P$ là đa thức nghiệm với $\deg(P)$ nhỏ nhất, từ giả thiết có
\[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {{x^2} - 3} \right) + 1 = 2P\left( {{{\left( { - x} \right)}^2} - 3} \right) + 1 = {P^2}\left( { - x} \right)\]
Như vậy hoặc $P(x)=P(-x)\;\forall\,x$ hoặc $P(-x)=-P(x)\;\forall\,x$.

• Nếu $P(x)=P(-x)\;\forall\,x$, khi đó sẽ tồn tại đa thức $p(x)$ thoả $P(x)=p\left(x^2\right)$ và có
  \[{p^2}\left( {{x^2}} \right) = 2p\left( {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2}} \right) + 1\;\forall\,x\]
  Từ đó cũng có được
  \[{p^2}\left( x \right) = 2p\left( {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) + 1\;\forall\,x\]
  Đặt $p(x+3)=p_*(x)$, ta có $p_*^2(x)=2p_*\left(x^2-3\right)+1\;\forall\,x$. Như vậy $p_*$ cũng là đa thức nghiệm, nhưng nó phạm vai trò của $P$ do
  \[\deg (P) = 2\deg (p) = 2\deg \left( {{p_*}} \right).\]
  Vậy không xảy đến trường hợp này.
• Nếu $P(-x)=-P(x)$, ta có luôn $P(0)=0$, xét hai dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ và $\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ với $x_0=y_0=0$ và các hệ thức truy hồi
  \[{x_{n + 1}} = x_n^2 - 3;\;{p_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {p_n^2 - 1} \right)\quad\forall\,n\in\mathbb N.\]
  Ta thấy rằng
  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = + \infty ;\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {p_n} = 1 - \sqrt 2 \]
  Nhưng $p_n=P\left(x_n\right)$, điều này mâu thuẫn với
  \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } P\left( x \right) = \infty \]

Như vậy, không tồn tại đa thức khác đa thức hằng thoả yêu cầu. Còn với trường hợp đa thức hằng, dễ dàng ta có hai nghiệm là
\[{P_1}\left( x \right) = 1 - \sqrt 2 ;\;{P_2}\left( x \right) = 1 + \sqrt 2 ;\]

[Zaraki]

Khoá topic lí do tất cả những bài viết trên đều được chép từ MathScope mà không ghi nguồn. Để đảm bảo sự trong sáng trong thảo luận toán, hy vọng các bạn hãy viết lời giải của bạn cho bài toán trong từng topic đề thi tỉnh. Nếu bạn muốn cho các thành viên DDTH xem lời giải của người khác, hãy trích dẫn link tới lời giải đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 23-10-2017 - 04:02