Đến nội dung


Hình ảnh

Các bài toán Đại số hay trong Đề thi HSG năm 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 giomienque

giomienque

    Binh nhất

  • Banned
  • 30 Bài viết

Đã gửi 12-10-2017 - 22:50

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

$\boxed{1}$ [Quảng Ninh] Cho ba số thực dương $a;\, b;\, c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{2a + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2b + 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2c + 1}} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6} }}\]
$\boxed{2}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left ( x^2-\left ( f\left ( y \right ) \right )^2 \right )=x.f(x)+y^2\quad \forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
$\boxed{3}$ [Quảng Ninh]Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn:
\[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\]

  • Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
  • Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
    \[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]

$\boxed{4}$ [Nghệ An] Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$:
\[ \begin{cases}\sqrt {xy - {x^2}} + 9\sqrt {xy + {x^2}} &= 16y\\
xy - 5x - 4y &= 80 \end{cases}\]
$\boxed{5}$ [Nghệ An] Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi $a_1>3$ và \[a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_{n}}\quad \forall n \geq 1;\, n \in \mathbb{N}\]
Xác định số thực dương $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$:
\[\sqrt{x^2+a_{1}^2}+\sqrt{x^2+a_{2}^2}
+...+\sqrt{x^2+a_{n}^2}
>n\sqrt{x^2+a^2}.\]
$\boxed{6}$ [Nghệ An] Tìm tất cả các hàm đơn điệu: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f(x+f(y))=f(x)+y^n\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
Trong đó $n$ là số nguyên dương cho trước.
$\boxed{7}$ [Quảng Trị] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thay đổi và thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {6 - \frac{x}{y} - \frac{y}{z} - \frac{z}{x}} \right)\]
$\boxed{8}$ [Quảng Trị] Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a;\,b;\,c;\,d$ là các hằng số thực thoả mãn $f(-1)=100;\,f(-2)=200$ và $f(-3)=300$. Tính giá trị của biểu thức
\[P = \frac{{f\left( {10} \right) + f\left( { - 14} \right)}}{{16}} - 582.\]
$\boxed{9}$ [Tiền Giang] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {x + y} \right) \ge f\left( x \right)f\left( y \right) \ge {2017^{x + y}}\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{10}$ [Tiền Giang] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:

  • $f(1)=1.$
  • $f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.$
  • $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^2}\quad\forall\,x\ne 0.$

Tính $f\left(\sqrt{2017}\right)$.

$\boxed{11}$ [Hà Nam] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {f\left( x \right) + ay} \right) = \left( {{a^2} + a} \right)x + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
Trong đó $a$ là một hằng số và $a\notin\{0;\,-1\}$.

$\boxed{12}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng mình rằng
\[\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1.\]
$\boxed{13}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho số nguyên dương $n$ và đa thức hệ số thực
\[P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\]
Biết rằng $P(0);\,P(1);\,\ldots;\,P(n)$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $P(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$.

$\boxed{14}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = {x^2} + f\left( x \right) + f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{15}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
\[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]
$\boxed{16}$ [Đồng Nai] Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( y \right) - yf\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{17}$ [Đồng Tháp] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng
\[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2.\]
$\boxed{18}$ [Đồng Tháp] Tìm các đa thức $P(x)$ có bậc không vượt quá 3 và thoả mãn
\[P\left( {6{x^2} - x - 1} \right) + P\left( {1 - 6{x^2} - x} \right) = 1 + {P^2}\left( {2x} \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{19}$ [Đắk Lắk] Cho các số thực dương $a;\,b$ với $a>b$, và bất phương trình
\[x^2-(a+b)x+ab\le 0\]
Giả sử $x_1;\,x_2;\,\ldots;\,x_n$ là các nghiệm của bất phương trình trên, chứng minh rằng
\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}} \right)}^2}}}{{n\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right)}} \ge \frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
$\boxed{20}$ [Đắk Lắk] Tìm các đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ thoả mãn
\[\left( {{x^2} + 2x} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)P\left( x \right) + 2{x^2} + 2x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{21}$ [Đắk Lắk] Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}\dfrac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {1 + xy} }}&=0\\
\sqrt {\left( {2x - 2} \right)\left( {y + 5} \right)} + \sqrt {\left( {2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} &= 3 + 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 5} } \right)
\end{cases}\]
$\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

  •  
  • Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
  • Tìm hàm $f(x)$.

$\boxed{23}$ [Tây Ninh] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả $xyz=1$, chứng minh rằng
\[\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3} + 2{y^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{y^3} + 2{z^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{z^3} + 2{x^3} + 6}}}} \le \sqrt 3 \]
$\boxed{24}$ [Tây Ninh] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn
\[f\left( {f\left( n \right)} \right) + 2f\left( n \right) = 3n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb N.\]
$\boxed{25}$ [Đà Nẵng] Với mỗi số thực $t$, gọi $g(t)$ là số các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {xy + f\left( y \right)} \right) = t + yf\left( x \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
Tìm hàm số $g(t)$.


$\boxed{26}$ [Hà Tĩnh] Cho các số thực không âm $a;\,b;\,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng
\[\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c - abc} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\]
$\boxed{27}$ [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba:
\[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4\]

  •  
  • Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất.
  • Gọi các nghiệm dương của $P(x),\, Q(x)$ lần lượt là $p;\, q$. Chứng minh rằng: \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\]

$\boxed{28}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
\[xP\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)P\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{29}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
\[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {2{x^2} - 1} \right) + 3\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{31}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{32}$ [Đắk Nông] Tìm các hàm số $f:\, \left(0;\,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = {x^2}f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{33}$ [Đắk Nông] Trong tập hợp $[-1;\,1]$, lấy bất kì các giá trị $x;\,y;\,z$ thoả mãn có tổng bằng 0 và tổng bình phương bằng 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P=x^{2018}+y^{2018}+z^{2018}.\]
$\boxed{34}$ [Đắk Nông] Biết rằng $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Chứng minh rằng: \[x+y+z \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.\] Dấu "=" xảy ra khi nào?


$\boxed{35}$ [Hà Nội] Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: \[f(\tan x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x\quad \forall x\in \left ( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right )\]
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
\[f\left(\sin^2x \right)f\left(\cos^2x\right);\quad (x\in \mathbb{R})\]
$\boxed{36}$ [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho:
\[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1\quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
$\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\]
$\boxed{38}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thoả mãn $P(2017)=1$, và $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.


$\boxed{39}$ [Thanh Hoá] Cho dãy số: $a_{0};\,a_{1};\,a_{2};\,...$ thoả mãn: \[a_{m+n}+a_{m-n}=\dfrac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})\quad\forall\,m;\,n \in \mathbb N,\; m\geqslant n.\] Nếu $a_{1}=1$, hãy xác định: $a_{2017}$.


$\boxed{40}$ [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) \quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
$\boxed{41}$ [Huế] Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh tồn tại $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho :
\[0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i.\]
$\boxed{42}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P\left(\sqrt [3]{3}\right)=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.


$\boxed{43}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$. Chứng minh rằng: \[\dfrac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \dfrac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \dfrac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geqslant 0.\]
$\boxed{44}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {\left( {x - y} \right)f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( {y - x} \right) + x = 0\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{45}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + \frac{9}{{2(ab + bc + ca)}} \ge \frac{9}{2}.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giomienque: 12-10-2017 - 22:51

Giải toán 12 GT NCGiải toán 12 GT CB - Giải toán 12 HH NC -  Giải toán 12 HH CB - Giái toán 11 ĐS&GT NCGiái toán 11 ĐS&GT CB - Giải toán 11 HH NCGiải toán 11 HH CB - Giải toán 10 ĐS NCGiải toán 10 ĐS CB - Giải toán 10 HH NCGiải toán 10 HH CB - Giải toán 9 tập 1 -  Giải toán 9 tập 2Giải toán 8 tập 1Giải toán 8 tập 2Giải toán 7 tập 1Giải toán 7 tập 2Giải toán 6 tập 1Giải toán 6 tập 2 - Giải lý 12 NC - Giải Lý 12 CBGiải lý 11 NC - Giải Lý 11 CBGiải lý 10 NC - Giải Lý 10 CB - Giải Lý 9 - Giải Lý 8Giải Lý 7Giải Lý 6Giải Hoá 12 NC - Giải Hoá 12 CBGiải Hoá 11 NC - Giải Hoá 11 CBGiải Hoá 10 NC - Giải Hoá 10 CB - Giải Hoá 9Giải Hoá 8 - Giải Sinh 12 NC - Giải Sinh 12 CB - Giải Sinh 11 NC - Giải Sinh 11 CB - Giải Sinh 10 NC - Giải Sinh 10 CB - Giải Sinh 9Giải Sinh 8Giải Sinh 7Giải Sinh 6Soạn văn 12 - Soạn văn 11 - Soạn văn 10 - Soạn văn 9 - Soạn văn 8 - Soạn văn 7 - Soạn văn 6 - Soạn Sử 12Soạn Sử 11Soạn Sử 10Soạn Sử 9Soạn Sử 8Soạn Sử 7Soạn Sử 6 - Soạn Địa 12Soạn Địa 11Soạn Địa 10Soạn Địa 9Soạn Địa 8Soạn Địa 7Soạn Địa 6 - Soạn Anh 12 NCSoạn Anh 12 CBSoạn Anh 11 NCSoạn Anh 11 CBSoạn Anh 10 NCSoạn Anh 10 CB - Soạn Anh 9Soạn Anh 8 -Soạn Anh 7Soạn Anh 6.

 


#2 LoveMathematic

LoveMathematic

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi Hôm qua, 11:22

$\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

  •  
  • Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
  • Tìm hàm $f(x)$.

Xét $P(x;\,y)$ là khẳng định $f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)$ và gọi $\ker (f)=\{x\in\mathbb R:\;f(x)=0\}$.

Ta thấy $f$ không thể là hàm hằng nên từ $P(0;\,x)$ đúng với mọi $x$ ta có $0\in\ker(f)$. Từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$, ta có
\[f\left( {xf\left( x \right)} \right) = {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(*)\]
Lấy $r\in\ker(f)$ bất kỳ, vì $f(r)=0$ nên ta có
\[0=f(0)=f\left( {rf\left( r \right)} \right) = {r^2}\]
Vậy $\ker(f)=\{0\}$.

  • Do $\ker(f)=\{0\}$ nên để chứng minh $f$ là đơn ánh, ta chỉ cần chỉ ra nếu $f(u)=f(v)$ và $uv\ne 0$ thì $u=v$. Thật vậy, nếu $uv\ne 0$ và $f(u)=f(v)=m\ne 0$ thì từ $P(u;\,v-u)$ đúng ta có
    \[f\left( {um} \right) = f\left( {uf\left( v \right)} \right) = f\left( {u\left( {u + v - u} \right)} \right) = {u^2} + f\left( {\left( {u - v} \right)f\left( u \right)} \right) = {u^2}+f\left( {\left( {u - v} \right)m} \right)\]
    Nhưng từ $(*)$ ta lại có
    \[u^2=f(uf(u))=f(um)\]
    Như vậy $u^2=u^2+f((u-v)m)$, tức $(u-v)m\in\ker(f)$ điều này kết hợp với $m\ne 0$ và $\ker(f)=\{0\}$ cho ta $u=v$.

    Vậy $f$ là đơn ánh.
  • Do $f$ là đơn ánh và từ $(*)$ ta có
    \[f(xf(x))=x^2=(-x)^2=f(-xf(-x))\quad\forall\,x\in\mathbb R\]
    Cho nên $xf(x)=-xf(-x)\;\forall\,x\in\mathbb R$ kết hợp $f(0)=0$ cho ta $f(-x)=-f(x)\;\forall\,x\in\mathbb R$.

    Do $P(x+y;\,y),\;P(y;\,-x-y)$ và $P(x;\,y)$ đúng với mọi $x;\,y\in\mathbb R$ nên
    \[\begin{align*}
    f\left( {\left( {x + y} \right)f\left( y \right)} \right) &= {\left( {x + y} \right)^2} + f\left( { - xf\left( {x + y} \right)} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} - f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right)\\
    - f\left( {yf\left( {x} \right)} \right) &= f\left( {yf\left( { - x } \right)} \right) = {y^2} + f\left( {\left( { - x - y} \right)f\left( y \right)} \right) = {y^2} - f\left( {\left( {x + y} \right)f\left( y \right)} \right)\\
    f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) &= {x^2} + f\left( y{f\left( x \right)} \right)
    \end{align*}\]
    Từ đó rút ra được
    \[f(yf(x))=xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R;\,(**)\]
    Giả sử $f(1)=k$, từ $(*)$ ta có $f(k)=f(1f(1))=1$, cũng từ $(*)$ lại có
    \[f(k)=f(kf(k))=k^2\]
    Cho nên $k=1$ hoặc $k=-1$.
    • Với $k=1$ từ $(**)$ cho $x=1$ để có $f(y)=y\;\forall\,y\in\mathbb R$.
    • Với $k=-1$ có $f(-1)=1$ nên từ $(**)$ cho $x=-1$ để có $f(y)=-y\;\forall\,y\in\mathbb R$.
  • Như vậy có hai nghiệm hàm thoả mãn là $f_1(x)=x$ và $f_2(x)=-x$.

--- Hãy chung tay phát triển Diễn đàn Toán học vững mạnh ---


#3 LoveMathematic

LoveMathematic

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi Hôm qua, 11:24

$\boxed{48}$ [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
\[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]


Từ $2x^2+8x+6=2(x+2)^2-2$, nên ta có
\[P\left( {x - 2} \right)P\left( {x - 1} \right) = P\left( {2{x^2} - 2} \right),\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Đặt $P(x-2)=Q(x)$ ta có
\[Q(x)Q(x+1)=Q\left(2x^2\right),\quad\forall\,x\in \mathbb{R}.\]
Thay $x$ bởi $\dfrac{1}{2}x$ và đặt $Q\left(\dfrac{1}{2}x\right)=p(x)$, cho ta
\[p(x)p(x+2)=p\left(x^2\right),\quad\forall\,x\in \mathbb{R}.\]
Rõ ràng nếu $\deg(p)\le 0$ thì ta chỉ có $p(x)=0$ và $p(x)=1$ thoả, nên sau đây ta chỉ xét trường hợp $\deg(p)>0$.

Đặt $p(x)=(x-1)^nf(x)$ với $f(x)\in\mathbb R^*[x],\;n\in\mathbb N$ đồng thời $f(1)\ne 0$. Thay vào ràng buộc trên và rút gọn ta được
\[f(x)f\left( {x + 2} \right) = f\left( {{x^2}} \right),\quad\forall\,x\in\mathbb R.\;(*)\]
Đến đây, có 2 hướng giải cho bài toán như sau.

Cách 1. Giả sử $\deg(f)=m\in\mathbb N$, từ $(*)$ đồng nhất hệ số bậc cao nhất cho thấy ta có thể viết $f(x)$ dưới dạng
\[f(x)=(x-1)^m+g(x),\;g(x)\in\mathbb R[x],\,\deg(g)=k<m\]
Thay vào $(*)$ và rút gọn ta được
\[{\left( {x - 1} \right)^m}g\left( {x + 2} \right) + {(x+1)^m}g\left( x \right) = g\left( {{x^2}} \right);\;(**)\]
Bậc ở vế trái của $(**)$ là $m+k$ còn bậc ở vế phải của $(**)$ là $2k$. Từ $m+k>2k$ và $g(1)\ne 0$ ta thấy không xảy ra trường hợp này.

Từ $p(x)=a(x-1)^n\;\forall\,x\in\mathbb R$ ta có $Q(x)=p(2x)=(2x-1)^n$, để có
\[P(x)=Q(x+2)=a(2x+3)^n;\,a\in \{0;\,1\};\,n\in\mathbb N.\]

Cách 2. Nếu $\deg(f)>0$ thì $f(x)$ luôn có một nghiệm phức $\alpha$ nào đó, từ $(*)$ lại có
\[f\left( {{\alpha ^2}} \right) = f\left( \alpha \right)f\left( {\alpha + 2} \right) = 0 = f\left( \alpha \right)f\left( {\alpha - 2} \right) = f\left( {{{\left( {\alpha - 2} \right)}^2}} \right)\]
Do đó, $f(x)$ cũng luôn nhận $\alpha^2$ và $\left(\alpha-2\right)^2$ làm nghiệm, đồng thời do $\alpha\ne 1$ cho nên ta có đánh giá sau
\[\left| {{\alpha ^2}} \right| + \left| {{{\left( {\alpha - 2} \right)}^2}} \right| = 2{\left| {\alpha - 1} \right|^2} + 2 > 2\]
Tức là $f(x)$ luôn có một nghiệm phức $r$ thoả $\left|r_*\right|>1$, từ đây dẫn đến điều mâu thuẫn là $f(x)$ có vô số các nghiệm ở dạng $r_k=\left(r_*\right)^{2^k}$ với $k\in \mathbb{Z}^+$.

Vậy, $f(x)$ là đa thức hằng và ta có các nghiệm của bài toán là như đã nêu ở cuối cách giải 1.


--- Hãy chung tay phát triển Diễn đàn Toán học vững mạnh ---





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh