Chủ đề này có 1 trả lời

[PhamHoanhvtl]

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $$ a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 3$$ . Chứng minh rằng $(a+b+c)(a+b+c-abc)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

[minhducndc]

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $$ a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 3$$ . Chứng minh rằng $(a+b+c)(a+b+c-abc)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow 3(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow 2(a+b+c)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Như vậy ta cần chứng minh $a+b+c-abc\geq 2$ (*)

Theo đề bài ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3\Rightarrow a+b+c\leq 3;abc\leq 1$

Có $a+b+c-abc\geq a+b+c-\frac{(a+b+c)^{3}}{27}$

Từ (*) ta cần chứng minh $a+b+c-\frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq 2\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}(a+b+c+6)\geq 0$ (luôn đúng)