Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $$ a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 3$$ . Chứng minh rằng $(a+b+c)(a+b+c-abc)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$(a+b+c)(a+b+c-abc)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
#1
Đã gửi 13-10-2017 - 20:31
#2
Đã gửi 14-10-2017 - 10:02
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $$ a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 3$$ . Chứng minh rằng $(a+b+c)(a+b+c-abc)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
Ta có bất đẳng thức quen thuộc $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$\Rightarrow 3(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$\Rightarrow 2(a+b+c)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
Như vậy ta cần chứng minh $a+b+c-abc\geq 2$ (*)
Theo đề bài ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3\Rightarrow a+b+c\leq 3;abc\leq 1$
Có $a+b+c-abc\geq a+b+c-\frac{(a+b+c)^{3}}{27}$
Từ (*) ta cần chứng minh $a+b+c-\frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq 2\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}(a+b+c+6)\geq 0$ (luôn đúng)
- duylax2412 yêu thích
Đặng Minh Đức CTBer
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức-cực trị, topic về bất đẳng thức
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a,b,c là các số thực, chứng minh rằng:$\Sigma{\frac{(a-b)(3a+b)}{a^2+b^2}} \geq 0$Bắt đầu bởi kingoffrog, 16-07-2018 bất đẳng thức-cực trị, sos, am-gm |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}Bắt đầu bởi PhamHoanhvtl, 02-06-2017 bất đẳng thức và cực trị và . |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P=\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}$Bắt đầu bởi Dam Uoc Mo, 02-04-2014 bất đẳng thức-cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$maxA=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$Bắt đầu bởi Dam Uoc Mo, 01-04-2014 bất đẳng thức-cực trị |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Ca này khoaiBắt đầu bởi RiodeJaneiro, 05-02-2014 bất đẳng thức-cực trị |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh