1. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$. $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. $E$ thuộc $AD$ sao cho $AD=3AE$. $M$ là trung điểm $AB$. $I\in CD,CI=2ID$. Chứng minh $GO\parallel (SAI)$.
2. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$. $M\in SB,\frac{SM}{SB}=\frac{1}{3},N\in SD$ sao cho $\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. $I=SC\cap (AMN)$, $IN\cap CD=K$. Tính $\frac{KC}{KD}$.
3. Chứng minh công thức: Cho $\triangle{ABC}$ có $M$ là trung điểm $BC,E\in AB,F\in AC,EF\cap AM=H$. Chứng minh rằng: $\frac{AB}{AE}+\frac{AC}{AF}=\frac{2AM}{AH}$.
Lời giải:
Bài 1:
Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AI$ cắt $AB$ tại $L$. $AI\cap BD=K$.
Khi đó theo Ta-let ta có: $\frac{DK}{KB}=\frac{DI}{AB}=\frac{DI}{DC}=\frac{1}{3}$.
$\implies \frac{DK}{DB}=\frac{1}{4}\implies \frac{DK}{DO}=\frac{1}{2}\implies \frac{KO}{OB}=\frac{1}{2}$.
Lại theo Ta-let ($OL\parallel AK$), ta có: $\frac{KO}{OB}=\frac{AL}{LB}=\frac{1}{2}$.
$\implies \frac{AL}{AB}=\frac{1}{3}\implies \frac{AL}{AM}=\frac{2}{3}=\frac{AG}{AM}$.
$\implies SA\parallel GL$.
Xét hai mặt phẳng: $(SAI),(GLO)$ có: $OL\parallel AI,GL\parallel SA\implies (SAI)\parallel (GLO)\implies Q.E.D.$.
Bài 2:
Giả sử ta dựng được điểm $I$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đặt $k=\frac{SI}{SC}$
Khi đó ta có: $S_{NIM}+S_{NAM}=S_{NIA}+S_{MIA}(1)$.
Ta chú ý rằng: $S_{DAC}=S_{ABC}=S_{DAB}=S_{DCB}=\frac{S_{ABCD}}{2}$.
Do đó từ $(1)\implies \frac{V_{S.NIM}}{V_{S.DCB}}+\frac{V_{S.NAM}}{V_{S.ABD}}=\frac{V_{S.NIA}}{V_{S.DAC}}+\frac{V_{S.MIA}}{V_{S.IBC}}$.
$\iff \frac{2}{3}.k.\frac{1}{3}+1.\frac{1}{3}.\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.k.1+\frac{1}{3}.k.1$.
$\implies k=\frac{2}{7}$.
Khi đó áp dung Menelauyt cho $\triangle{SDC}$, ta có:
$\frac{KD}{KC}.\frac{IC}{IS}.\frac{NS}{ND}=1\iff \frac{KD}{KC}.\frac{5}{2}.\frac{2}{1}=1$.
$\implies \frac{KD}{KC}=\frac{1}{5}$.
Bài 3:
Do $BM=MC\implies S_{ABM}=S_{AMC}=\frac{1}{2}S_{ABC}$.
Ta có: $\frac{S_{AEH}}{S_{ABM}}+\frac{S_{AHF}}{S_{AMC}}=\frac{S_{AEF}}{S_{ABM}}=\frac{1}{2}.\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$.
$\iff \frac{AE}{AB}.\frac{AH}{AM}+\frac{AF}{AC}.\frac{AH}{AM}=\frac{1}{2}.\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}$.
$\iff \frac{AH}{AM}(\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC})=\frac{1}{2}.\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}$.
$\implies \frac{2AM}{AH}=\frac{\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}}{\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}}$.
$\iff \frac{AB}{AE}+\frac{AC}{AF}=\frac{2AM}{AH}\implies Q.E.D$.