Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc0712]

Giả sử y_i=y_i(x_1,x_2,...,x_n) với (i= 1,2,...,n) là hàm của các biến độc lập x_1,x_2,...,x_n. Ma trận $J(X,Y)= \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{i}}$ được gọi là ma trận Jacobi của phép biến đổi, còn định thức của nó được gọi là Jacobien của phép biến đổi đó.

Bây giờ xét mối quan hệ giữa n² hàm y_ij và n² biến x_ij được cho bởi công thức Y=AXB, ở đó Y=(y_ij) , X=(x_ij), A,B thuộc Mat(n,R) là hai ma trận cho trước.

Chứng minh  $det(J(Y,X))= (detA)^{n}.(detB)^{n}$.

[LangTu Mua Bui]

Viết J(X,Y)=$\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{i}}$ là không ổn vì dễ nhầm là phép cuộn .Để tránh nhầm lẫn nên viết lại thành $\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}$

Ở bài này nên biết đến tích tensor của 2 ma trận thì dễ hiểu hơn  $J=B^{T} \bigotimes  A$

Biến đổi từ đề bài ta được : $\Rightarrow  y_{ij}= \frac{\partial y_{ih}}{\partial x_{mn}}= \frac{\partial \left ( \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ij}x_{jk}b_{kh} \right ) }{\partial x_{mn}}$

$y_{ij} $ Chỉ khác 0 khi mn trùng với jk .Suy ra ma trận Jacobi biến đổi là 1 ma trận $n^{2}\times n^{2}$

   

Đặt $c_{ij}=b_{ij} $ và  viết dạng ma trận khối 

 

                             $J=\begin{bmatrix} c_{11}A &c_{12}A&.. &c_{nn}A \\ c_{21}A & .. &...& .. \\ ... &...& ...\\ c_{n1}A & ..&.. & c_{nn}A \end{bmatrix}$

 

 

Do cách tính định thức là tổng các tính các hoán vị nên khi nhân các phần tử của $c_{ij}$ với A thì không làm thay đổi hoán vị
Gọi F là trường vector các ma trận vuông cấp n là cấp của mỗi khối , R là trường các ma trận vuông $n^{2} $ của ma trận J 
 

Điều này dẫn đến : $det J=det_{F}(det_{R} J) $

 

                                      $  =det_{F}\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}A^{n} \right )$

 

$det_{F}$ là tính định thức với dạng ma trận khối ,$det_{R}$ là tính định thức coi các ma trận thông thường bằng cách coi các  khối như phần tử vô hướng. 

 

 Do $A^{n} $là ma trận vuông cấp n                 $=det_{F}A^{n}(\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}\right )^{n}$

                                                                          $=detA^{n}detC^{n}$

                                                                          $=detA^{n}(detB^{T})^{n}$

                                                   

                                                                  $  \Rightarrow det J=(detA)^{n}(detB)^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 23-08-2018 - 23:47