Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdat2003]

Bài 1:Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2015

Chứng minh $\frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2015b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2015c+ab}}\leq 1$

Bài 2: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1)\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

[myduyen03]

Bài 1:

$\frac{a}{a+\sqrt{2015+bc}}$ $= \frac{a}{a+\sqrt{a(a+b+c)}+bc}$ $= \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ 

$\leq \frac{a}{a+\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})}$  $= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

( Do Áp dụng BĐT Bu-nhi-a: $(a+b)(a+c) \geqslant(\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{a}.\sqrt{c})^{2}$  

$\Rightarrow$ $\sqrt{(a+b)(a+c)}\geqslant \sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{a}.\sqrt{c}$ )

Tương tự: $\frac{b}{b+\sqrt{2015b+ac}}\leqslant \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

                  $\frac{c}{c+\sqrt{2015c+ab}}\leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Cộng 3 BĐT trên vế theo vế $\Rightarrow đpcm$

Dấu = xảy ra khi a = b = c = 2015/3