Chủ đề này có 1 trả lời

[honglanfa157]

Cho a,b,c> 0; $\sum ab$+2abc=1..Chứng minh: $ \sum \frac{1}{a}\geq 4\sum a $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglanfa157: 17-10-2017 - 22:32

[minhducndc]

Ta có $ab+bc+ca+2abc=1\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}= 2$ (Bạn quy đồng lên)

Do đó tồn tại x,y,z sao cho $\frac{1}{a+1}= \frac{x+y}{x+y+z};\frac{1}{b+1}= \frac{y+z}{x+y+z};\frac{1}{c+1}= \frac{x+z}{x+y+z}$

(Vì $\sum \frac{y+z}{x+y+z}= 2$ )

$\Rightarrow a=\frac{z}{x+y};b=\frac{x}{y+z};c= \frac{y}{x+z}$

Như vậy ta cần chứng minh $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}\geq 4(\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z})$

Dễ thấy $\frac{4z}{x+y}\leq \frac{z}{x}+\frac{z}{y}$

Làm tương tự với các số còn lại ta được đpcm