Chủ đề này có 1 trả lời

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Cho A và B là hai ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn: $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh rằng nếu: (BA-AB) khả đảo thì n chia hết cho 3.

[An Infinitesimal]

Cho A và B là hai ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn: $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh rằng nếu: (BA-AB) khả đảo thì n chia hết cho 3.

Gọi $\r$ là một nghiệm phức nào đó của phương trình $r^2-r+1=0$ và $r'$ là nghiệm còn lại của phương trình trên. 

 

Khi đó, $A^2-rBA-r'AB+B^2=(A-r B)(A-r'B).$

Vì $A^2+B^2=AB$ và $1-r'=r\neq 0$ nên

$$ (BA-AB)=\frac{1}{r}(A-r B)(A-r'B).$$

 

Hơn nữa, vì $A, B\in M_n(\mathbb{R})$ nên $(A-rB)* =A-r'B$ (ma trận liên hiệp).

Do đó $\det(BA-AB)=\frac{1}{r^n} \left|\det(A-rB)\right|^2$(modun).

Vì $\det(BA-AB)$ là một số thực khác $0$ nên $\frac{1}{r^n}$ là một số thực khác $0$. Suy ra $n$ là số tự nhiên chia hết cho $3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 19-10-2017 - 12:05