Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a, b, c)$ thỏa mãn: $(a^{3}+b)(b^{3}+a)=2^{c}.$

[takarin1512]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b$.

Đặt $a^3+b=2^m, b^3+a=2^n\left ( m\geq n \right )$$\Rightarrow b\equiv -a^3\equiv b^9\left ( mod2^n \right )\Rightarrow 2^n|b^9-b$$\Rightarrow v_2\left ( b \right )+v_2\left ( b^2-1 \right )+v_2\left ( b^2+1 \right )+v_2\left ( b^4+1 \right )\geq n$ (quy ước $v_2\left ( 0 \right )=+\infty$)

Vì $a^3+b, b^3+a$ là các lũy thừa của $2$ cho nên $\left\{\begin{matrix} 3v_2\left ( a \right )=v_2\left ( b \right )\\ 3v_2\left ( b \right )=v_2\left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow v_2\left ( a \right )=v_2\left ( b \right )=0$ hay $a,b$ lẻ.

Vì $b$ lẻ cho nên $v_2\left ( b \right )=0, v_2\left ( b^2+1 \right )=v_2\left ( b^4+1 \right )=1\Rightarrow 2+v_2\left ( b^2-1 \right )\geq n\Rightarrow b^3+a|4\left ( b^2-1 \right )$

Nếu $b=1$;

$2^m=a^3+1=\left ( a+1 \right )\left ( a^2-a+1 \right )$, mà $a^2-a+1$ lẻ suy ra $a^2-a+1=1\Rightarrow a=1$

Nếu $b\geq 3$$\Rightarrow 4\left ( b^2-1 \right )\geq b^3+a\geq b^3+b$. Giải bất phương trình ta được $b=3$$\Rightarrow 5\geq a\geq b=3$. Thử lại ta chọn được $\left ( a,b \right )=\left ( 5,3 \right )$

Vậy các cặp $\left ( a,b,c \right )$ thỏa mãn là $\left ( 1,1,2 \right ),\left ( 5,3,12 \right )$