Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\sum \frac{(b+c)^{2}}{a(2a+b+c)}\geq 2\sum \frac{a}{b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Onlydead

Onlydead

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng $\sum \frac{(b+c)^{2}}{a(2a+b+c)}\geq 2\sum \frac{a}{b+c}$

 



#2
CatKhanhNguyen

CatKhanhNguyen

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Không mất tính tổng quát, giả sử a+b+c=1.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c}$

Ta có:

$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{9}{2}a(1-a) + \frac{3}{4}(1+a)\geq \frac{9}{2}(1-a)$

<=> $\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)}\geq \frac{9}{2}a^{2} - \frac{39}{4}a + \frac{15}{4}$

Tương tự suy ra:

$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{9}{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} \geq \frac{3}{2}(a + b + c)^{2} - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} = 3$

Ta cần chứng minh vế phải $\leq 3$

$\frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c} \leq 3$

<=> $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq -\frac{9}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

$\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq \frac{9}{a + b + c - 3} = -\frac{9}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CatKhanhNguyen: 21-10-2017 - 11:10


#3
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Không mất tính tổng quát, giả sử a+b+c=1.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c}$

Ta có:

$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{9}{2}a(1-a) + \frac{3}{4}(1+a)\geq \frac{9}{2}(1-a)$

<=> $\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)}\geq \frac{9}{2}a^{2} - \frac{39}{4}a + \frac{15}{4}$

Tương tự suy ra:

$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{9}{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} \geq \frac{3}{2}(a + b + c)^{2} - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} = 3$

Ta cần chứng minh vế phải $\leq 3$

$\frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c} \leq 3$

<=> $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq -\frac{9}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

$\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq \frac{9}{a + b + c - 3} = -\frac{9}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

Đoạn đánh giá cuối sai rồi bạn , $\sum \frac{1}{1-a}$ là số âm nên ko đánh giá vậy đc đâu

Với lại $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}$


Đặng Minh Đức CTBer





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh