Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng $\sum \frac{(b+c)^{2}}{a(2a+b+c)}\geq 2\sum \frac{a}{b+c}$
Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng $\sum \frac{(b+c)^{2}}{a(2a+b+c)}\geq 2\sum \frac{a}{b+c}$
Không mất tính tổng quát, giả sử a+b+c=1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c}$
Ta có:
$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{9}{2}a(1-a) + \frac{3}{4}(1+a)\geq \frac{9}{2}(1-a)$
<=> $\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)}\geq \frac{9}{2}a^{2} - \frac{39}{4}a + \frac{15}{4}$
Tương tự suy ra:
$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{9}{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} \geq \frac{3}{2}(a + b + c)^{2} - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} = 3$
Ta cần chứng minh vế phải $\leq 3$
$\frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c} \leq 3$
<=> $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq -\frac{9}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq \frac{9}{a + b + c - 3} = -\frac{9}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CatKhanhNguyen: 21-10-2017 - 11:10
Không mất tính tổng quát, giả sử a+b+c=1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c}$
Ta có:
$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{9}{2}a(1-a) + \frac{3}{4}(1+a)\geq \frac{9}{2}(1-a)$
<=> $\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)}\geq \frac{9}{2}a^{2} - \frac{39}{4}a + \frac{15}{4}$
Tương tự suy ra:
$\frac{(1-a)^{2}}{a(1+a)} + \frac{(1-b)^{2}}{b(1+b)} + \frac{(1-c)^{2}}{c(1+c)} \geq \frac{9}{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} \geq \frac{3}{2}(a + b + c)^{2} - \frac{39}{4} (a +b +c) + \frac{45}{4} = 3$
Ta cần chứng minh vế phải $\leq 3$
$\frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c} \leq 3$
<=> $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq -\frac{9}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} \geq \frac{9}{a + b + c - 3} = -\frac{9}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
Đoạn đánh giá cuối sai rồi bạn , $\sum \frac{1}{1-a}$ là số âm nên ko đánh giá vậy đc đâu
Với lại $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}$
Đặng Minh Đức CTBer
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh