Chủ đề này có 1 trả lời

[raeunho]

Cho $x,y,z>0: x^2 + y^2 + z^2 = 2$ và $P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+xz}+\frac{z}{2+xy}$.

a) CMR $x+y+z \leq 2+xy$. Tìm GTLN của P

b) Tìm GTNN của P.

[trambau]

Cho $x,y,z>0: x^2 + y^2 + z^2 = 2$ và $P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+xz}+\frac{z}{2+xy}$.

a) CMR $x+y+z \leq 2+xy$. Tìm GTLN của P

b) Tìm GTNN của P.

Đoạn chấm đỏ phải là $xyz$ chứ bạn, mình làm theo đề đúng là

 $x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\leq \sqrt{\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)^2+1\right)}=\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}$

ta chứng minh cho $\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\leq 2$

$\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\leq 2\Leftrightarrow yz\leq 1$

$yz\leq \frac{y^2+z^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1$ (đpcm)