Chủ đề này có 1 trả lời

[trinhhoangdung123456]

Chứng minh đa thức f(x)=(x-1)(x-2) . . . (x-2018) -1 không phân tích được thành 2 đa thức có hệ số nguyên.

 

[trinhhoangdung123456]

 Giả sử f(x) =g(x).h(x) với g(x), h(x) là đa thức có hệ số nguyên.

 Do f(x)= -1 với mọi x=1, 2, 3, . . ., 2018.

 => f(x). g(x)= -1 với mọi x= 1, 2, 3 , . . ., 2018.

 => g(x)= 1 và h(x)= -1 hoặc g(x)= -1 và h(x)= 1 với mọi x= 1, 2, 3, . . ., 2018.

 => g(x) +h(x) = 0 với mọi x=1,2, 3, . . .,2018

 Do f(x) có bậc 2018

 => g(x) và h(x) đều có bặc nhỏ hơn 2018.

 => g(x)+ h(x) có bậc nhỏ hơn 2018 mà có ít nhất 2018 nghiệm $x\epsilon \left \{ 1;2;3;...;2018 \right \}$

 => h(x) +g(x) đồng dư với đa thức 0 với mọi x thuộc R

 => h(x)= -g(x) với mọi x thuộc R

 => f(x) = $-\left [ g(x)^{2} \right ]$ với mọi x thuộc R

 => f(x) =$-g^{2}(x)$ với mọi x thuộc R

Mặt khác hệ số cao nhất của f(x) bằng 1 mà hệ số cao nhất của $-g^{2}(x)$ < 0 nên điều này là vô lý.

  Vậy đa thức không phân tích thành 2 đa thức có hệ số nguyên.