Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

$\boxed{\text{Tác giả}}$: cristianoronaldo

Hình gửi kèm

• 

[viet9a14124869]

Lời giải.

Do đẳng thức trên là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa $q=3.$ Đổi biến $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc.$

Ta đi chứng minh $p+(n-3)r \geq n.$

_Nếu $p^2 > 4q = 12 \rightarrow p > 2\sqrt{3}\rightarrow p+(n-3)r > p > 2\sqrt{3}> \frac{16}{5}\geq n$ ( đpcm )

_Nếu $p^2\leq 4q =12 \Rightarrow p \in [3;2\sqrt{3}].$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có : $p^3+9r\geq 4pq=12p\Rightarrow r\geq \frac{12p-p^3}{9}\rightarrow p+(n-3)r-n\geq p+(n-3)(\frac{12p-p^3}{9})-n=(p-3)\left [1-\frac{(n-3)(p^2+3p-3)}{9} \right ]\geq 0 \Leftrightarrow 1-\frac{(n-3)(p^2+3p-3)}{9}\geq 0$

Thật vậy , vì $n\in \left \{ 3;\frac{16}{5} \right \}$ nên ta có : 

 $1-\frac{(n-3)(p^2+3p-3)}{9}\geq 1-\frac{\frac{1}{5}(p^2+3p-3)}{9}=\frac{48-3p-p^2}{45}\geq 0$  ( $\forall p \in \left [ 3 ; 2\sqrt{3} \right ]$ )

Vậy bài toán được chứng minh.

P/S : Đoán là bài này có thể làm mạnh hơn bằng cách cho $n\in \left [ 3; \frac{18}{5} \right ]$ nhưng chưa kiểm chứng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 26-10-2017 - 13:29