Chủ đề này có 3 trả lời

[Sonhai224]

Tìm tất cả $n$ nguyên dương thỏa mãn $1^{n}+2^{n}+3^{n}+...+10^{n}>11^{n}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 24-10-2017 - 22:42

[halloffame]

Ta thấy $n=1,2,..,6$ thoả mãn nhưng $1^7+2^7+3^7+...+10^7<11^7.$

Ta quy nạp để chứng minh mọi $n>7$ không thoả mãn. 

Giả sử $1^k+2^k+3^k+...+10^k<11^k(k \in \mathbb{N^*})$ thì:

$11^{k+1}=11^k.11>(1^k+2^k+3^k+...+10^k).11>1^{k+1}+2^{k+1}+3^{k+1}+...+10^{k+1}.$

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm, tức chỉ có $n=1,2,...,6$ thoả mãn bài toán.

[Sonhai224]

Ta thấy $n=1,2,..,6$ thoả mãn nhưng $1^7+2^7+3^7+...+10^7<11^7.$

Ta quy nạp để chứng minh mọi $n>7$ không thoả mãn. 

Giả sử $1^k+2^k+3^k+...+10^k<11^k(k \in \mathbb{N^*})$ thì:

$11^{k+1}=11^k.11>(1^k+2^k+3^k+...+10^k).11>1^{k+1}+2^{k+1}+3^{k+1}+...+10^{k+1}.$

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm, tức chỉ có $n=1,2,...,6$ thoả mãn bài toán.

-khi vào phòng thi thì không có máy tính cầm tay nên rất khó để đoán được $n=6$ thỏa mãn, $n=7$ không thỏa mãn, vì vậy, 1 vấn đề ở đây là phải tìm cách chứng tỏ rằng $n=6$ thỏa mãn và $n=7$ không thỏa mãn, sau đó thực hiện bước quy nạp và kết luận.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sonhai224: 25-10-2017 - 06:22

[halloffame]

-khi vào phòng thi thì không có máy tính cầm tay nên rất khó để đoán được $n=6$ thỏa mãn, $n=7$ không thỏa mãn, vì vậy, 1 vấn đề ở đây là phải tìm cách chứng tỏ rằng $n=6$ thỏa mãn và $n=7$ không thỏa mãn, sau đó thực hiện bước quy nạp và kết luận.

 

Mình làm bài này hoàn toàn không dùng tới máy tính, vì số không quá lớn.

Bạn có thể để ý rằng $11^n$ sẽ tăng mạnh hơn $1^n+2^n+...+10^n$ nên có thể dự đoán là tồn tại một số $k$ mà mọi $n>k$ không thoả mãn.

Với $n=1 \rightarrow 7$ thì mình tính tay mất gần 8 phút, và nếu xét đến thời gian 180 phút của một kì thi thông thường thì con số này chẳng thấm vào đâu.