Chủ đề này có 1 trả lời

[chaobu909]

Cho $(x_n):x_1=a(a \geq 2);x_n=(x_{n-1}^2)-2$ và $b_n= \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_1x_2}+..+ \frac{1}{x_1x_2...x_n}.$

Tìm $\lim b_n.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 25-10-2017 - 12:46

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $(x_n):x_1=a(a \geq 2);x_n=(x_{n-1}^2)-2$ và $b_n= \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_1x_2}+..+ \frac{1}{x_1x_2...x_n}.$

Tìm $\lim b_n.$

Với mọi $n=1, 2, 3, ...$ ta có: $x_{n}=x_{n-1}^{2}-2\Leftrightarrow x_{n+1}=x_{n}^{2}-2\Leftrightarrow x_{n+1}^{2}-4=\left ( x_{n}^{2}-2 \right )^{2}-4=x_{n}^{4}-4x_{n}^{2}=x_{n}^{2}\left ( x_{n}^{2}-2 \right )=x_{n}^{2}x_{n-1}^{2}\left ( x_{n-1}^{2}-4 \right )=...=x_{n}^{2}x_{n-1}^{2}...x_{2}^{2}x_{1}^{2}\left ( x_{1}^{2}-4 \right )=\left ( x_{1}x_{_{2}}...x_{n} \right )^{2}.\left ( a^{2}-4 \right )$ $\Leftrightarrow \left ( \frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}} \right )^{2}=a^{2}-4+\frac{4}{\left ( x_{1}x_{2}...x_{n} \right )^{2}}.$

Mặt khác vì: $x_{1}=a\geq 2\Rightarrow x_{n}\geq 2, \forall n=1, 2, 3, ....$ Do đó: $x_{1}x_{2}....x_{_{n}}> 2^{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}.$ Bởi vậy: $0< \frac{4}{\left ( x_{1}x_{_{2}}...x_{n} \right )^{2}}< \frac{4}{2^{2n}}, \forall n=1, 2, 3, ...$ nên theo nguyên lý kẹp ta có: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{4}{\left ( x_{1}x_{2}...x_{n} \right )^{2}}=0,$ từ đây suy ra: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}}=\sqrt{a^{2}-4}.$      (1)

Mà ta lại có: $\frac{1}{x_{1}x_{_{2}}...x_{n}}=\frac{2}{2x_{1}x_{2}...x_{n}}=\frac{x_{n}^{2}-x_{n+1}}{2x_{1}x_{2}...x_{_{n}}}=\frac{1}{2}\left ( \frac{x_{n}}{x_{1}x_{2}...x_{n-1}}-\frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}} \right ),$ từ đây ta có: $b_{n}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}+...+\frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}}=\frac{1}{x_{1}}+\left ( \frac{1}{x_{1}x_{2}}+...+\frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}} \right )=\frac{1}{a}+\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{3}}{x_{1}x_{2}} \right )+...+\left ( \frac{x_{n}}{x_{1}x_{_{2}}...x_{n-1}}-\frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}} \right ) \right ]=\frac{1}{a}+\frac{x_{2}}{2x_{_{1}}}-\frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{_{n}}}=\frac{1}{a}+\frac{a^{2}-2}{2a}-\frac{x_{n+1}}{2x_{1}x_{2}...x_{n}}.$

Từ đây sử dụng (1) ta có: $\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{_{n}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}+...+\frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}}\right )=\frac{1}{a}+\frac{a^{^{2}}-2}{2a}-\frac{\sqrt{a^{2}-4}}{2}=\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 25-10-2017 - 20:32