Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a,b,c>0. CMR:

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$

[hanguyen445]

Biến đổi và sử dụng BĐT cauchy-schwarz

$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$ với $x,y,z>0$

Hình gửi kèm

• 

[tuaneee111]

Trời đề thi chọn $VMO$ tỉnh Lâm Đồng :v 

Mk sẽ sử dụng $SOS$. Ta có:

$$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} - \sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} } $$$$ = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {\frac{{2a - b + 4\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }}{{2b\left( {a + b + 2\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} } \right)}}} \right)} $$$$ \geqslant \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {\frac{{2a + 3b}}{{2b\left( {a + b + 2\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} } \right)}}} \right)}  \geqslant 0$$Vậy ta có điều phải chứng minh!