Chủ đề này có 4 trả lời

[hungnolan]

Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $a+b+c=6$

CMR : $a^2+b^2+c^2\leq 14$

[DinhXuanHung CQB]

Không giảm tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

Ta sẽ xét bài toán tại điểm rơi $(a;b;c)=(3;2;1)$

Xét : $P=a^2-9+b^2-4+c^2-1$ thì cần chứng minh $P\geq 0$

Có $P=(a-3)(a+3)+(b-2)(b+2)+(c+1)(c+1)$

 $\geq (a-3)(b+2)+(b-2)(c+2)+(c-1)(b+2)$

 $=(a+b+c-6)(b+2)=0$

Suy ra điều phải chứng minh.

[dungxibo123]

Không giảm tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

Ta sẽ xét bài toán tại điểm rơi $(a;b;c)=(3;2;1)$

Xét : $P=a^2-9+b^2-4+c^2-1$ thì cần chứng minh $P\geq 0$

Có $P=(a-3)(a+3)+(b-2)(b+2)+(c+1)(c+1)$

 $\geq (a-3)(b+2)+(b-2)(c+2)+(c-1)(b+2)$

 $=(a+b+c-6)(b+2)=0$

Suy ra điều phải chứng minh.

thầy ơi vậy thì suy ra $P\geq 14$ chứ ạ chứ đâu phải $\leq$ 

[DinhXuanHung CQB]

thầy ơi vậy thì suy ra $P\geq 14$ chứ ạ chứ đâu phải $\leq$ 

À mình lộn chắc bạn ấy chép đề nhầm.

[minhducndc]

Bài toán đưa về : Cho $1\leq a;b;c\leq 3;a+b+c=6.$ Chứng minh cho $ab+bc+ca\geq 11$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 3$$\Rightarrow 1\leq a\leq 2$

Khi đó $ab+bc+ca= a(b+c)+bc= a(6-a)+bc$

Do $b\leq 3;c\leq 3$$\Rightarrow (b-3)(c-3)\geq 0\Leftrightarrow bc\geq 3(b+c)-9= 3(6-a)-9$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq a(6-a)+3(6-a)-9= -a^{2}+3a+9$$= 11-(a-1)(a-2)\geq 11$

(Vì$1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(a-2)\leq 0$)

$\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 31-10-2017 - 21:02