Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqslant \left(x^2+y^2+z^2\right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, Pleiku, Gia Lai

Đã gửi 30-10-2017 - 14:01

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caovannct: 03-11-2017 - 11:00


#2 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 12-11-2017 - 19:36

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\left ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \right )\left ( \frac{zx^2}{y}+\frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x} \right )\geqslant \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2$

Như vậy ta cần chứng minh:

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqslant \frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x}+\frac{zx^2}{y}$

$\Leftrightarrow \frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geqslant 0$

Đúng vì $x\geqslant y\geqslant z> 0$ .

$\blacksquare$

P/S:$\blacklozenge$Đây là bất đẳng thức VMO 1991

       $\blacklozenge$Bất đẳng thức trên cũng đúng với điều kiện x,y,z là độ dài ba cạnh tam giác


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 12-11-2017 - 19:54

Nothing in your eyes





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh