Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :
$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caovannct: 03-11-2017 - 11:00
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :
$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caovannct: 03-11-2017 - 11:00
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :
$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\left ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \right )\left ( \frac{zx^2}{y}+\frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x} \right )\geqslant \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2$
Như vậy ta cần chứng minh:
$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqslant \frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x}+\frac{zx^2}{y}$
$\Leftrightarrow \frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geqslant 0$
Đúng vì $x\geqslant y\geqslant z> 0$ .
$\blacksquare$
P/S:$\blacklozenge$Đây là bất đẳng thức VMO 1991
$\blacklozenge$Bất đẳng thức trên cũng đúng với điều kiện x,y,z là độ dài ba cạnh tam giác
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 12-11-2017 - 19:54
Nothing in your eyes
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh