Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqslant \left(x^2+y^2+z^2\right)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caovannct: 03-11-2017 - 11:00


#2
cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\left ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \right )\left ( \frac{zx^2}{y}+\frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x} \right )\geqslant \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2$

Như vậy ta cần chứng minh:

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqslant \frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x}+\frac{zx^2}{y}$

$\Leftrightarrow \frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geqslant 0$

Đúng vì $x\geqslant y\geqslant z> 0$ .

$\blacksquare$

P/S:$\blacklozenge$Đây là bất đẳng thức VMO 1991

       $\blacklozenge$Bất đẳng thức trên cũng đúng với điều kiện x,y,z là độ dài ba cạnh tam giác


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 12-11-2017 - 19:54

Nothing in your eyes





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh