SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (4 điểm)
Câu 1 : Cho A = $\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}$-$\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}$-$\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2 : Tìm số dư của phép chia $3^{6}+3^{8}+3^{2016}$ cho 91
Bài 2 : (4 điểm)
Câu 1 : Tìm a,b nguyên dương sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên dương
Câu 2 : Cho các số thực x,y thoả mãn $8x^{2}+y^{2}+\frac{1}{4x^{2}}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích xy
Bài 3 : (2 điểm) Giải phương trình sau : $3\sqrt{x^{3}+8}$ = $2x^{2}-6x+4$
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Vẽ đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là chân đường cao hạ từ H tới AB,AC. Một đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại O.
a) Chứng minh : O là trung điểm BC
b) Chứng minh : AD.BD+AE.CE$\leq$$OA^{2}$
c) Trên mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ tia Cx sao cho $\widehat{BCx}=20^{\circ}$. Trên tia Cx lấy Q sao cho BC=CQ. Cho BC=CQ=b;BQ=a. Chứng minh $a^{3}+b^{3}=3ab^{2}$
Bài 5 : Cho tam giác ABC nhọn và MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp tam giác (M,N$\in$BC,P$\in$AC,Q$\in$AB).
a) Chứng minh khi diện tích MNPQ lớn nhất thì PQ đi qua trung điểm AH là đường cao của tam giác ABC
b) Cho AH=BC. Chứng minh chu vi MNPQ không đổi