Chủ đề này có 3 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $xy-z^{2}=1.$ Chứng minh rằng tồn tại $a, b, c, d\in \mathbb{N}$ sao cho: $x=a^{2}+b^{2}; y=c^{2}+d^{2}; z=ac+bd.$

[IHateMath]

Ta có $xy=z^2+1$, Vì ước nguyên tố của $z^2+1$ chỉ có dạng đồng dư $1$ với $4$, nên $x,y$ cũng chỉ có các ước nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó, theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương, cộng với hằng đẳng thức Brahmagupta-Fibonacci nói rằng tích một đám có dạng $m^2+n^2$ cũng có dạng này, ta suy ra sự tồn tại của $a,b,c,d$. 

[Zz Isaac Newton Zz]

Ta có $xy=z^2+1$, Vì ước nguyên tố của $z^2+1$ chỉ có dạng đồng dư $1$ với $4$, nên $x,y$ cũng chỉ có các ước nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó, theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương, cộng với hằng đẳng thức Brahmagupta-Fibonacci nói rằng tích một đám có dạng $m^2+n^2$ cũng có dạng này, ta suy ra sự tồn tại của $a,b,c,d$. 

Anh có thể làm bằng Vành số nguyên $Gauss$ không, em nghe nói là dùng số nguyên $Gauss$ nhưng hiện tại thì làm chưa ra...  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 04-11-2017 - 14:29

[IHateMath]

Chà chà, anh không có kiến thức về số học đại số nên chịu. Đúng là ban đầu anh cũng có ý tưởng về số nguyên Gauss.