Chủ đề này có 3 trả lời

[dunglamtym]

Bài toán 1:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a²+b²+c²=1. Chứng minh rằng:

$\frac{bc}{a^2+1}+ \frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài toán 2: Cho x,y>0 và x+y=2. Chứng minh rằng:

$x^4+y^4+8\sqrt{xy}\geq 10$

 

Bài toán 3:

Cho a,b,c>0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{b+c}{a+bc}+\frac{c+a}{b+ca}+\frac{a+b}{c+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunglamtym: 03-11-2017 - 11:12

[Duy Thai2002]

Bài 2: Một cách tiếp cận tự nhiên hay nhất cho bài toán đó là sử dụng hàm

Từ gt => $y=2-x$

Thế vào bđt $<=> x^{4}+(2-x)^{4}+8\sqrt{x(2-x)}\geq 10$

$<=>2x^{4}-8x^{3}+24x^{2}-32x+16+8\sqrt{x(2-x)}\geq 10$

Xét hàm: $f(x)=2x^{4}-8x^{3}+24x^{2}-32x+16+8\sqrt{x(2-x)}$

$=> f'(x)=8x^{3}-24x^{2}+48x-32+\frac{-8x+8}{\sqrt{2x-x^{2}}}$

$=>f'(x)=0$   $<=> (x-1)(8x^{2}-16x+32-\frac{8}{\sqrt{2x^{2}-x^{2}}})=0$ $<=> x=1$

Nhận thấy $f'(x)<0\forall x\in (0;1)$ và $f'(x)>0\forall x\in (1;2)$

=> P đạt GTNN là $f(1)=10$ $<=> x=1$ $<=> y=1$

=> Đpcm.

P/s: Cái chỗ pt có tới ba nghiệm. Lập bảng biến thiên loại 2 nghiệm kia. Có gì tối về đánh.

[dunglamtym]

Bài 2: Một cách tiếp cận tự nhiên hay nhất cho bài toán đó là sử dụng hàm

Từ gt => $y=2-x$

Thế vào bđt $<=> x^{4}+(2-x)^{4}+8\sqrt{x(2-x)}\geq 10$

$<=>2x^{4}-8x^{3}+24x^{2}-32x+16+8\sqrt{x(2-x)}\geq 10$

Xét hàm: $f(x)=2x^{4}-8x^{3}+24x^{2}-32x+16+8\sqrt{x(2-x)}$

$=> f'(x)=8x^{3}-24x^{2}+48x-32+\frac{-8x+8}{\sqrt{2x-x^{2}}}$

$=>f'(x)=0$   $<=> (x-1)(8x^{2}-16x+32-\frac{8}{\sqrt{2x^{2}-x^{2}}})=0$ $<=> x=1$

Nhận thấy $f'(x)<0\forall x\in (0;1)$ và $f'(x)>0\forall x\in (1;2)$

=> P đạt GTNN là $f(1)=10$ $<=> x=1$ $<=> y=1$

=> Đpcm.

P/s: Cái chỗ pt có tới ba nghiệm. Lập bảng biến thiên loại 2 nghiệm kia. Có gì tối về đánh.

Với những bài kiểu nay đưa về bất phương trình ẩn xy là tối ưu :> Cách của bạn cũng tối ưu nhưng bạn ơi, mình đề vào toán THCS mà :v

[ntbt273]

Xin làm bài 1 :v