Cho $a,b,c$ thuộc $[1;3]$ và $a+b+c=6$. CMR :
a) $a^2+b^2+c^2\leq 14$
b) $a^3+b^3+c^3\leq 36$
Cho $a,b,c$ thuộc $[1;3]$ và $a+b+c=6$. CMR :
a) $a^2+b^2+c^2\leq 14$
b) $a^3+b^3+c^3\leq 36$
Đặt $a=x+1;b=y+1;c=z+1$. Khi đó $x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$
Không giảm tổng quát, giả sử $x$= $max{x;y;z}$ suy ra $x+y+z=3\leq 3x$
Suy ra $1\leq x\leq 2$ <=> $(x-1)(x-2)\leq 0$
Nên $x^2+y^2+z^2\leq x^2+(y+z)^2=x^2+(3-x)^2=5+2(x-1)(x-2)\leq 5$
Tức là $x^2+y^2+z^2\leq 5$ (*)
Cũng tương tự c.m được $x^3+y^3+z^3\leq 9$ (**)
a) Ta có $a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3$ (1)
Thay (*) vào (1) ta có $a^2+b^2+c^2\leq 14$ đpcm
b) Ta có $a^3+b^3+c^3=(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+9$ (2)
Thay (*) và (**) vào (2) ta có $a^3+b^3+c^3\leq 36$ là đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 03-11-2017 - 13:52
Little Homie
Đặt $a=x+1;b=y+1;c=z+1$. Khi đó $x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$
Không giảm tổng quát, giả sử $x$= $max{x;y;z}$ suy ra $x+y+z=3\leq 3x$
Suy ra $1\leq x\leq 2$ <=> $(x-1)(x-2)\leq 0$
Nên $x^2+y^2+z^2\leq x^2+(y+z)^2=x^2+(3-x)^2=5+2(x-1)(x-2)\leq 5$
Tức là $x^2+y^2+z^2\leq 5$ (*)
Cũng tương tự c.m được $x^3+y^3+z^3\leq 9$ (**)
a) Ta có $a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3$ (1)
Thay (*) vào (1) ta có $a^2+b^2+c^2\leq 14$ đpcm
b) Ta có $a^3+b^3+c^3=(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+9$ (2)
Thay (*) và (**) vào (2) ta có $a^3+b^3+c^3\leq 36$ là đpcm
Cam on bn nhé
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh