Chủ đề này có 3 trả lời

[hungnolan]

Cho $a,b,c$ thuộc $[1;3]$ và $a+b+c=6$. CMR : 

a) $a^2+b^2+c^2\leq 14$

b) $a^3+b^3+c^3\leq 36$

[DinhXuanHung CQB]

Đặt $a=x+1;b=y+1;c=z+1$. Khi đó $x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$

Không giảm tổng quát, giả sử $x$= $max{x;y;z}$ suy ra $x+y+z=3\leq 3x$

Suy ra $1\leq x\leq 2$ <=> $(x-1)(x-2)\leq 0$

Nên $x^2+y^2+z^2\leq x^2+(y+z)^2=x^2+(3-x)^2=5+2(x-1)(x-2)\leq 5$

Tức là $x^2+y^2+z^2\leq 5$ (*)

Cũng tương tự c.m được $x^3+y^3+z^3\leq 9$ (**)

a) Ta có $a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3$ (1)

Thay (*) vào (1) ta có $a^2+b^2+c^2\leq 14$ đpcm

b) Ta có $a^3+b^3+c^3=(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+9$ (2)

Thay (*) và (**) vào (2) ta có $a^3+b^3+c^3\leq 36$ là đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 03-11-2017 - 13:52

[hungnolan]

Đặt $a=x+1;b=y+1;c=z+1$. Khi đó $x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$

Không giảm tổng quát, giả sử $x$= $max{x;y;z}$ suy ra $x+y+z=3\leq 3x$

Suy ra $1\leq x\leq 2$ <=> $(x-1)(x-2)\leq 0$

Nên $x^2+y^2+z^2\leq x^2+(y+z)^2=x^2+(3-x)^2=5+2(x-1)(x-2)\leq 5$

Tức là $x^2+y^2+z^2\leq 5$ (*)

Cũng tương tự c.m được $x^3+y^3+z^3\leq 9$ (**)

a) Ta có $a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3$ (1)

Thay (*) vào (1) ta có $a^2+b^2+c^2\leq 14$ đpcm

b) Ta có $a^3+b^3+c^3=(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+9$ (2)

Thay (*) và (**) vào (2) ta có $a^3+b^3+c^3\leq 36$ là đpcm

Cam on bn nhé

[DinhXuanHung CQB]

Cam on bn nhé

Không có gì.