Đến nội dung

Hình ảnh

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$

tg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hungnolan

hungnolan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 04-11-2017 - 18:09


#2
DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Bất đẳng thức không âm

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

<=> $2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$

<=> $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ (1)

Theo BĐT tam giác : $a<b+c$ <=> $a^2<ab+ac$
Tương tự dễ suy ra đpcm


Little Homie


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c.Ta có:

$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca\doteq \left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ \left ( b- c \right )^{2}\geq 0$.

 

Mặt khác ta có a, b, c là 3 cạnh cua tam giác nên:

$2ab+ 2bc+ 2ca- a^{2}- b^{2}- c^{2}= a\left ( b+ c- a \right )+ b(c+ a- b)+ c(a+ b- c)\geq 0$

 

Suy ra được điều phải chứng minh.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh