Chứng minh rằng $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 04-11-2017 - 18:09
Bất đẳng thức không âm
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$
<=> $2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$
<=> $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ (1)
Theo BĐT tam giác : $a<b+c$ <=> $a^2<ab+ac$
Tương tự dễ suy ra đpcm
Little Homie
Không mất tính tổng quát giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c.Ta có:
$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca\doteq \left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ \left ( b- c \right )^{2}\geq 0$.
Mặt khác ta có a, b, c là 3 cạnh cua tam giác nên:
$2ab+ 2bc+ 2ca- a^{2}- b^{2}- c^{2}= a\left ( b+ c- a \right )+ b(c+ a- b)+ c(a+ b- c)\geq 0$
Suy ra được điều phải chứng minh.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh