Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2017 - 2018.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 374 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 04-11-2017 - 14:16

Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2017 - 2018

Bài 1. Cho dãy số: $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ thỏa mãn: $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}\left ( a_{2m}+a_{2n} \right ),$ với mọi số nguyên không âm $m, n$ và $m\geq n.$ Nếu $a_{1}=1,$ hãy xác định: $a_{2017}.$ 

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(n^{2})=f(n+m).f(n-m)+m^{2}, \forall m, n\in \mathbb{R}.$

Bài 3. Tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $P$ là điểm di động bên trong tam giác sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}.$ Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AB$ cắt $PC$ tại $M,$ đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N.$ Chứng minh rằng: trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 4. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thỏa mãn $P(2017)=1,$  $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n.$

Bài 5. Chứng minh rằng: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^{n}.$

*Đề thi có tham khảo ở link sau: http://olympictoanho...-2017-2018.html

 



#2 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 374 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 04-11-2017 - 14:55

Bài 5: Sử dụng phương pháp đếm bằng hai cách: 

Ta thấy vế phải là số cách chọn $n$ phần tử từ tập $M$ gồm $2n+1$ phần tử nên ta xét bài toán sau: Tính số cách chọn $n$ phần tử từ tập $M$ có $2n+1$ phần tử.

Cách 1: Số cách chọn chính là $C_{2n+1}^{n}.$

Cách 2: Ta chia tập $M$ thành $n$ cặp và lẻ phần tử $x.$ Để chọn $n$ phần tử từ $M$ ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Ta sẽ chọn $k$ cặp, với $k=\overline{0, n}$ từ $n$ cặp đã chia thì ta có $C_{n}^{k}$ cách, sau đó ở mỗi cặp ta chọn một phần tử thì như vậy ta có $2^{k}C_{n}^{k}$ cách chọn.

Bước 2: Chọn $\left [ \frac{n-k}{2} \right ]$ cặp trong $n-k$ cặp còn lại.

Vì $\left\{\begin{matrix} \left [ \frac{n-k}{2} \right ]=\frac{n-k}{2}\Leftrightarrow n-k&chẵn& & \\ \left [ \frac{n-k}{2} \right ]=\frac{n-k-1}{2}\Leftrightarrow n-k&lẻ& & \end{matrix}\right.$

Do đó ta sẽ chọn phần tử $x$ nếu $n-k$ lẻ và không chọn $x$ nếu $n-k$ chẵn. Do đó, số cách chọn ở bước này là $C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}.$

Từ đây suy ra, có $2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}$ cách trong mỗi lần chọn.

Cho $k$ chạy từ $0$ đến $n$ và lấy tổng lại thì ta có: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^{n}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 04-11-2017 - 14:58


#3 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 374 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 04-11-2017 - 20:39

Câu 2. Gọi $P(m, n)$ là phép thế $m=u$ và $n=v$ vào phương trình $f(n^{2})=f(n-m).f(n+m)+m^{2}, \forall m, n\in \mathbb{R}.$    (1)

$P(0, 0)\Rightarrow f(0)=f(0)^{2}\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=1.$

Trường hợp 1: $f(0)=0$

$P(0, n)\Rightarrow f(n^{2})=f(n)^{2}, \forall n\in \mathbb{R}.$    (2)

$P(m, m)\Rightarrow f(m^{2})=m^{2}, \forall m\in \mathbb{R}.$    (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $f(m)^{2}=m^{2}, \forall m\in \mathbb{R}.$    (4)

$P(m, 0)\Rightarrow f(m).f(-m)+m^{2}=0, \forall m\in \mathbb{R},$ kết hợp với (4) ta được:

$f(m).f(-m)+f(m)^{2}=0\Leftrightarrow f(m)\left ( f(-m)+f(m) \right )=0, \forall m\in \mathbb{R}.$    (5)

Giả sử có số $a:f(a)=0,$ thì từ (4) ta thế $m=a$ ta được: $f(a)^{2}=a^{2}\Rightarrow a=0.$ Vậy từ đây suy ra: $f(m)=0\Leftrightarrow m=0.$

Từ (5) xét với $m\neq 0$ thì $f(m)\neq 0,$ vậy ta có: $f(-m)=-f(m), \forall m\neq 0.$ Mà do $f(0)=0$ nên ta suy ra: $f(-m)=-f(m), \forall m\in \mathbb{R}.$

Từ $f(m)^{2}=m^{2}\geq 0, \forall m\in \mathbb{R}\Rightarrow f(m)\geq 0\Leftrightarrow m\geq 0.$

Ta có: $f(m^{2})=m^{2}, \forall m\in \mathbb{R}\Rightarrow f(m)=m, \forall m\geq 0.$

Xét $m< 0\Rightarrow -m> 0\Rightarrow f(-m)=-m, \forall -m> 0,$ do $f$ là hàm lẻ nên $f(-m)=-f(m)=-m, \forall m< 0\Rightarrow f(m)=m, \forall m< 0.$ Từ đây suy ra: $f(m)=m, \forall m\in \mathbb{R}.$ Thử lại thấy thỏa mãn.

Trường hợp 2: $f(0)=1$

$P(n, n)\Rightarrow f(n^{2})=f(2n)+n^{2}, \forall n\in \mathbb{R}.$    (6)

Trong (6) thế $n=2\Rightarrow f(4)=f(4)+4\Rightarrow 0=4,$ vô lý nên trường hợp này không xảy ra.

Vậy tất cả các hàm số thỏa đề bài là: $f(m)=m, \forall m\in \mathbb{R}.$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 06-11-2017 - 20:29


#4 hacame

hacame

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 06-11-2017 - 11:44

Bài 1: Lần lượt cho $n=m$; $n=0$ Ta có: $a_{2m}+a_{2m}=2(a_{2m}+a_{0})=4\left ( a_{m}+a_{m} \right ),$ suy ra $a_{2m}=4a_{m}$ và $a_{0}=0$.

Do vậy ta sẽ tính được $a_{2}=4$,$a_{4}=16$. Từ đó ta cũng có $a_{1}+a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}=10$ nên $a_{3}=9$. Ta sẽ chứng minh $a_{n}=n^{2}, \forall n\geq 1.$ 

Thật vậy sử dụng quy nạp theo $n$. Giả sử rằng $a_{i}=i^{2}$ với $i< n$.

Khi đó ta có với $m=n-1$, $n=1$ thì: $a_{n}=\frac{a_{2n-2}+a_{2}}{2}-a_{n-2}=2(n^{2}-2n+1)+2-(n^{2}-4n+4)=n^{2}.$ Do đó ta có: $a_{2017}=2017^{2}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 06-11-2017 - 20:47


#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4107 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-11-2017 - 16:31

$f(m).f(-m)+f(m)^{2}=0\Leftrightarrow f(m)\left ( f(-m)+f(m) \right )=0, \forall m\in \mathbb{R}.$    (5)

Do ta thấy $f(m)=0, \forall m\in \mathbb{R}$ không thỏa (1) nên từ (5) suy ra: $f(-m)=-f(m), \forall m\in \mathbb{R}.$

Dòng này sai. Nếu tồn tại 2, 3 số $m \in R$ để $f(m) = 0$ thì sao?

Ít nhất phải chứng minh rằng $f(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0$ thì mới được phép suy ra thế kia.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh