Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2017 - 2018.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 04-11-2017 - 14:16

Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2017 - 2018

Bài 1. Cho dãy số: $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ thỏa mãn: $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}\left ( a_{2m}+a_{2n} \right ),$ với mọi số nguyên không âm $m, n$ và $m\geq n.$ Nếu $a_{1}=1,$ hãy xác định: $a_{2017}.$ 

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(n^{2})=f(n+m).f(n-m)+m^{2}, \forall m, n\in \mathbb{R}.$

Bài 3. Tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $P$ là điểm di động bên trong tam giác sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}.$ Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AB$ cắt $PC$ tại $M,$ đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N.$ Chứng minh rằng: trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 4. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thỏa mãn $P(2017)=1,$  $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n.$

Bài 5. Chứng minh rằng: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^{n}.$

*Đề thi có tham khảo ở link sau: http://olympictoanho...-2017-2018.html

 



#2 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 04-11-2017 - 14:55

Bài 5: Sử dụng phương pháp đếm bằng hai cách: 

Ta thấy vế phải là số cách chọn $n$ phần tử từ tập $M$ gồm $2n+1$ phần tử nên ta xét bài toán sau: Tính số cách chọn $n$ phần tử từ tập $M$ có $2n+1$ phần tử.

Cách 1: Số cách chọn chính là $C_{2n+1}^{n}.$

Cách 2: Ta chia tập $M$ thành $n$ cặp và lẻ phần tử $x.$ Để chọn $n$ phần tử từ $M$ ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Ta sẽ chọn $k$ cặp, với $k=\overline{0, n}$ từ $n$ cặp đã chia thì ta có $C_{n}^{k}$ cách, sau đó ở mỗi cặp ta chọn một phần tử thì như vậy ta có $2^{k}C_{n}^{k}$ cách chọn.

Bước 2: Chọn $\left [ \frac{n-k}{2} \right ]$ cặp trong $n-k$ cặp còn lại.

Vì $\left\{\begin{matrix} \left [ \frac{n-k}{2} \right ]=\frac{n-k}{2}\Leftrightarrow n-k&chẵn& & \\ \left [ \frac{n-k}{2} \right ]=\frac{n-k-1}{2}\Leftrightarrow n-k&lẻ& & \end{matrix}\right.$

Do đó ta sẽ chọn phần tử $x$ nếu $n-k$ lẻ và không chọn $x$ nếu $n-k$ chẵn. Do đó, số cách chọn ở bước này là $C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}.$

Từ đây suy ra, có $2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}$ cách trong mỗi lần chọn.

Cho $k$ chạy từ $0$ đến $n$ và lấy tổng lại thì ta có: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^{n}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 04-11-2017 - 14:58


#3 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 04-11-2017 - 20:39

Câu 2. Gọi $P(m, n)$ là phép thế $m=u$ và $n=v$ vào phương trình $f(n^{2})=f(n-m).f(n+m)+m^{2}, \forall m, n\in \mathbb{R}.$    (1)

$P(0, 0)\Rightarrow f(0)=f(0)^{2}\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=1.$

Trường hợp 1: $f(0)=0$

$P(0, n)\Rightarrow f(n^{2})=f(n)^{2}, \forall n\in \mathbb{R}.$    (2)

$P(m, m)\Rightarrow f(m^{2})=m^{2}, \forall m\in \mathbb{R}.$    (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $f(m)^{2}=m^{2}, \forall m\in \mathbb{R}.$    (4)

$P(m, 0)\Rightarrow f(m).f(-m)+m^{2}=0, \forall m\in \mathbb{R},$ kết hợp với (4) ta được:

$f(m).f(-m)+f(m)^{2}=0\Leftrightarrow f(m)\left ( f(-m)+f(m) \right )=0, \forall m\in \mathbb{R}.$    (5)

Giả sử có số $a:f(a)=0,$ thì từ (4) ta thế $m=a$ ta được: $f(a)^{2}=a^{2}\Rightarrow a=0.$ Vậy từ đây suy ra: $f(m)=0\Leftrightarrow m=0.$

Từ (5) xét với $m\neq 0$ thì $f(m)\neq 0,$ vậy ta có: $f(-m)=-f(m), \forall m\neq 0.$ Mà do $f(0)=0$ nên ta suy ra: $f(-m)=-f(m), \forall m\in \mathbb{R}.$

Từ $f(m)^{2}=m^{2}\geq 0, \forall m\in \mathbb{R}\Rightarrow f(m)\geq 0\Leftrightarrow m\geq 0.$

Ta có: $f(m^{2})=m^{2}, \forall m\in \mathbb{R}\Rightarrow f(m)=m, \forall m\geq 0.$

Xét $m< 0\Rightarrow -m> 0\Rightarrow f(-m)=-m, \forall -m> 0,$ do $f$ là hàm lẻ nên $f(-m)=-f(m)=-m, \forall m< 0\Rightarrow f(m)=m, \forall m< 0.$ Từ đây suy ra: $f(m)=m, \forall m\in \mathbb{R}.$ Thử lại thấy thỏa mãn.

Trường hợp 2: $f(0)=1$

$P(n, n)\Rightarrow f(n^{2})=f(2n)+n^{2}, \forall n\in \mathbb{R}.$    (6)

Trong (6) thế $n=2\Rightarrow f(4)=f(4)+4\Rightarrow 0=4,$ vô lý nên trường hợp này không xảy ra.

Vậy tất cả các hàm số thỏa đề bài là: $f(m)=m, \forall m\in \mathbb{R}.$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 06-11-2017 - 20:29


#4 hacame

hacame

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 06-11-2017 - 11:44

Bài 1: Lần lượt cho $n=m$; $n=0$ Ta có: $a_{2m}+a_{2m}=2(a_{2m}+a_{0})=4\left ( a_{m}+a_{m} \right ),$ suy ra $a_{2m}=4a_{m}$ và $a_{0}=0$.

Do vậy ta sẽ tính được $a_{2}=4$,$a_{4}=16$. Từ đó ta cũng có $a_{1}+a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}=10$ nên $a_{3}=9$. Ta sẽ chứng minh $a_{n}=n^{2}, \forall n\geq 1.$ 

Thật vậy sử dụng quy nạp theo $n$. Giả sử rằng $a_{i}=i^{2}$ với $i< n$.

Khi đó ta có với $m=n-1$, $n=1$ thì: $a_{n}=\frac{a_{2n-2}+a_{2}}{2}-a_{n-2}=2(n^{2}-2n+1)+2-(n^{2}-4n+4)=n^{2}.$ Do đó ta có: $a_{2017}=2017^{2}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 06-11-2017 - 20:47


#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-11-2017 - 16:31

$f(m).f(-m)+f(m)^{2}=0\Leftrightarrow f(m)\left ( f(-m)+f(m) \right )=0, \forall m\in \mathbb{R}.$    (5)

Do ta thấy $f(m)=0, \forall m\in \mathbb{R}$ không thỏa (1) nên từ (5) suy ra: $f(-m)=-f(m), \forall m\in \mathbb{R}.$

Dòng này sai. Nếu tồn tại 2, 3 số $m \in R$ để $f(m) = 0$ thì sao?

Ít nhất phải chứng minh rằng $f(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0$ thì mới được phép suy ra thế kia.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 yagami wolf

yagami wolf

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 19-08-2018 - 17:09

xin lời giải bài hình !



#7 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 31-08-2018 - 23:16

Bài 3: Lời giải rất đơn giản nhưng nghĩ ra được đường cố định thì ... :wacko: 

Dựng hình bình hành $ABFC$, $BM$, $CN$ cắt $CF$, $BF$ tại $I$, $J$; $A'$ đối xứng $A$ qua $O$

Do $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}=\widehat{BA'C} => PNMA'$ nội tiếp
Mà $\Delta  NBJ$ ~ $\Delta  MCI => DM/DN=IM/IA'.JA'/JN=IM/JN.JA'/IA'=IC/JB.JB/IC=1$
Vậy $D$ thuộc $IJ$ mà $IJ$ cố định nên $D$ nằm trên đgt cố định $(ĐPCM)$

Hình gửi kèm

  • thanhhoa.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 31-08-2018 - 23:17


#8 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 31-08-2018 - 23:30

Bài 4: $P(2017)=1, P(n)|3^n-1\forall n \in Z^{+}$

Ta xét $2$ TH sau:

$1.$ $deg(P)\geqslant 0$ , khi đó theo định lý $Schur$ sẽ tồn tại vô số ước nguyên tố $p$ của dãy $P(n)$

Giả sử $p$ là một ước nguyên tố bất kì như thế với $p>3$ và $p|P(m)$, ta có: $p|3^m-1$

Theo tính chất quen thuộc của đa thức nguyên thì $P(m+p)\equiv P(m)\equiv 0(modp)$

Từ đây lại có $p|3^{m+p}-1$ mà $p>3$ và do $a^m \equiv b^m(mod p)$ nên theo định lí $Fermat$ nhỏ ta có: $3^{m+p}-1\equiv 3^m(3^p-1)\equiv 2.3^m(mod p)$

Điều này kéo theo $p|2$ điều này rõ ràng vô lí.

$2.$ $deg(P)=0$ hay $P$ là đa thức hằng thế thì $P(x)=d$ hay $P(x)=P(2017)=1$ thử lại rõ ràng thấy đúng từ đó $P(x) \equiv 1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh