Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 04-11-2017 - 20:11
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 04-11-2017 - 20:11
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AGFDFM: 04-11-2017 - 21:02
Dùng giả thiết a+b+c=3 sau đó Cosi ngược dấu rồi cùng cô si với mẫu số. Cô si thêm lần nữa là ra
cụ thể đi bạn
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
$\sum {\frac{a}{{bc + 1}} = \sum {a - \frac{{abc}}{{1 + bc}} \ge 3 - \sum {\frac{{a\sqrt {bc} }}{2} = 3 - \sum {\frac{{\sqrt a .\sqrt {abc} }}{2} \ge 3 - \sum {\frac{{\sqrt a \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^3}}}{{27}}} }}{2} = 3 - \sum {\frac{{\sqrt a }}{2}} } } } } }$$\ge 3 - \frac{1}{2}\sqrt {(a + b + c).3} = \frac{3}{2}$
bạn xem lại đề
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
bạn xem lại đề
mih k hiểu
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
mih k hiểu
tiêu đề mình gõ bị nhầm, nhưng đề đúng là $\frac{a}{ab+1}$
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
$\sum \frac{a}{ab+1}=\sum \left ( a-\frac{a^{2}b}{ab+1} \right )\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$
Theo AM-GM, ta có: $\sum \frac{a^{2}b}{ab+1}\leq \sum \frac{a^{2}b}{2\sqrt{ab}}$
Cần chứng minh: $\sum \frac{a^{2}b}{2\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{2}$
Thật vây: $\sum \frac{a^{2}b}{2\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum a\sqrt{ab}\leq 3\Leftrightarrow 3\left ( \sum a\sqrt{ab} \right )\leq \left ( \sum a \right )^{2}$ $(*)$
Đặt $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y,\sqrt{c}=z(x,y,z>0)$ thì bất đẳng thức $(*)$ trở thành bất đẳng thức sau $3\left ( \sum x^{3}y \right )\leq \left ( \sum x^{2} \right )^{2}$
Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Vasc quen thuộc, bạn có thể tham khảo cách chứng minh trên mạng rất nhiều
Vậy bdt được chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh