Bài 17: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn: $f(mn)+f(m+n)=f(m)f(n)+1,\forall m,n\in \mathbb{N}^*$(*)
Đặt $f(1)=x$
Trong (*) thay m=n=1 , ta được:
$f(1)+f(2)=f(1)^{2}+1$
$=> f(2)=f(1)^{2}-f(1)+1=x^{2}-x+1$
Trong (*) thay m=2, n=1, ta được:
$f(2)+f(3)=f(1)f(2)+1$
$=> f(3)=f(2)(f(1)-1)+1=(x^{2}-x+1)(x-1)+1$
Trong (*) thay m=3, n=1, ta được:
$ f(3)+f(4)=f(3)f(1)+1 => f(4)=f(3)(f(1)-1)+1=(x^{2}-x+1)(x-1)^{2}+(x-1)+1$
Bằng việc qui nạp m , ta chứng minh được: $ f(m)=(x^{2}-x+1)(x-1)^{m-2}+\sum_{i=1}^{m-3}(x-1)+1$ ($ m>2$)
Trong (*), Thay m=2,n=3, ta được:
$f(6)+f(5)=f(2)f(3)+1$
Theo công thức trên, ta được:
$(x^{2}-x+1)(x-1)^{4}+\sum_{i=1}^{3}(x-1)^{i}+1+(x^{2}-x+1)(x-1)^{3}+\sum_{k=1}^{2}(x-1)^{k}+1=(x^{2}-x+1)((x^{2}-x+1)(x-1)+1)+1$
Giải pt trên, chú ý rằng $x\in N^{*}$ ta được $\begin{bmatrix}x=1 & \\x=2 & \end{bmatrix}$
Với x=1
$=> f(1)=1, f(2)=1, f(m)=(1^{2}-1+1)(1-1)^{m-2}+\sum_{i=1}^{m-3}(1-1)^{i}+1=1$
$=> f(m)=1 \forall m\in N^{*}$
Thử lại, VT(*)=VP(*)=2 nên nhận kết quả trên
Với x=2
$f(1)=2,f(2)=3,f(m)=(2^{2}-2+1)(2-1)^{m-2}+\sum_{i=1}^{m-3}(2-1)^{i}+1=m+1$
$=> f(m)=m+1 \forall m\in N^{*}$
Thử lại, VT(*)=VP(*)=$ m+n+mn+2$ nên nhận $\large f(m)=m+1$
Vậy $ f(m)=1, f(m)=m+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 16-11-2017 - 18:25