Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 2 tháng 11/2017:$KN_a,KN_b,KN_c$ lần lượt cắt $EF,FD,DE$ theo ba điểm thẳng hàng.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4247 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 05-11-2017 - 20:00

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 1/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $P$ và $Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. $K$ là trung điểm $PQ$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $KD \parallel QA, KE \parallel QB, KF \parallel QC$. Gọi $N_a,N_b,N_c$ lần lượt là tâm đường tròn Euler của tam giác $PBC,PCA,PAB$. Chứng minh rằng $KN_a,KN_b,KN_c$ lần lượt cắt $EF,FD,DE$ theo ba điểm thẳng hàng.

 

Screen Shot 2017-11-05 at 10.59.16 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $(O),(I)$ theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. $E,F$ theo thứ tự là tiếp điểm của $(I)$ và $AC,AB$. $M,N$ là các giao điểm của $EF$ và $(O)$. $P,Q$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI,CI$ và $(O)$. $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến với $(O)$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 05-11-2017 - 20:01

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 AnhTran2911

AnhTran2911

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 179 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.

Đã gửi 06-11-2017 - 12:10

Bài 2: $IE, IF $ lần lượt cắt $(AIC)$ và $(AIB)$ tại $H,K$

Ta có $ \overline{FI}.\overline{FK}= \overline{FA}.\overline{FB}=\overline{FN}.\overline{FN}$. Suy ra $K\in{(MIN)}$. 

Tương tự ${H}\in{(MIN)}$. Mặt khác vì $Q$ là tâm ngoại của $(AIB)$ nên $OG\perp{AB}$. Lại có ${IK}\perp {AB}$ và ${SQ} \perp{OQ}$ .

Dẫn đến ${SQ}\perp{IK}$ hay $S$ thuộc trung trực $IK$ . Tương tự thì $S$ cũng thuộc trung trực ${IH}$ 

Như vậy $S$ là tâm ngoại của $(IKH)$ mà $K, H\in (IMN)$ . Dẫn đến $S$ là tâm ngoại $(IMN)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 06-11-2017 - 12:13

                    Không kho báu nào quý bằng học thức.

                             Hãy tích lũy lấy nó lúc bạn còn đủ sức.

                                                                                   A. Ru- Đa- Ki   :ukliam2:


#3 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 06-11-2017 - 12:16

Bài 2 là một phát triển của đề Sư Phạm , đồng thời cũng là trường hợp riêng của bài tuần trước đúng không ạ . Gọi $T$ là giao 2 tiếp tuyến tại $B,C$ , áp dụng định Lý Pascal ta thu được $S,I,T$ thẳng hàng . Gọi $U,V$ lần lượt là giao điểm của $IM,IN$ với $(O)$ . Khi đó ta có $IT \perp UV$ nên $IS$ đi qua tâm ngoại $\triangle IMN$ . Mà $S$ nằm trên trung trực $MN$ nên $S$ là tâm ngoại $\triangle IMN$



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 06-11-2017 - 12:32

Lời giải bài 1 của em : GỌi $G$ là điểm Poncelet ( điểm đồng quy của các đường tròn Euler $\triangle PBC,\triangle PCA , \triangle PAB$ và đường tròn Pedal của $P$ ứng với $\triangle ABC$ ) . Gọi $XYZ$ là tam giác Pedal của $P$ . $U,V,W$ lần lượt là giao điểm của $KN_a,KN_b,KN_c$ với $EF,FD,DE$ . $Q,R,S$ lần lượt là giao điểm của $KD,KE,KF$ với $EF,FD,DE$ . 

Ta có $AQ \perp YZ$ nên $KD$ là trung trực $YZ$

Ta có biến đổi tỉ số :  $\prod \frac{\overline{UF}}{\overline{UE}} = -\prod \frac{\overline{UF}}{\overline{UE}} : \frac{\overline{QF}}{\overline{QE}} =- \prod (UDEF) = -\prod K(UD,EF) = -\prod X(G , \parallel YZ , Z,Y)$

$= \prod \frac{\overline{GZ}}{\overline{GY}}. \frac{\overline{XY}}{\overline{XZ}} = 1$ nên theo định lý Menelaus ta có $U,V,W$ thẳng hàng 

Untitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 06-11-2017 - 12:34






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh