Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Jordan-Brouwer Separation theorem và Invariance of Domain

invariance of domain jordan-brouwer separation theorem

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 10-11-2017 - 00:40

Đợt này đang học lại đoạn này nên quyết định post lên coi như lưu trữ cho mọi người. Mình cũng chưa thấy ai dịch tiếng Việt ra cái này. Baw, nó khá là thú vị, đi kèm với khó, ví dụ định lý $1,2$ là thành quả của các nhà toán học trong nhiều năm trời, nếu không thuộc dạng thiên tài thì bạn không nên tự tìm cách chứng minh :D . Dĩ nhiên mình sẽ post lên một số kết quả chính và các bài tập, tuy nhiên theo mình bài tập phần này khá hay, nếu không nói là thú vị hơn định lý gốc. Đa số bài tập không có giải trên mạng, và mình sẽ post kèm cả lời giải mấy bài khó nhất.( mất mấy hôm ngồi nghĩ )

Trước hết thống nhất kí hiệu:

$R^{n}=\left \{(x_{1},...,x_{n}) \mid x_{i} \in R  \right \}$

$S^{n}=\left \{x \in R^{n+1}: \parallel x \parallel =1 \right \}$

$D^{n}=\left \{x \in R^{n}: \parallel x \parallel \leq 1 \right \}$

$\widetilde{H_{n}}:$ nhóm đồng điều rút gọn thứ $n$.

$s_{r}:$ là một kgian đồng phôi với $S^{r}$

$e_{r}:$ là $r-$ cell, đồng phôi với $[0,1]^{r}$

Định lý $1:$ Nếu $S^{n}$ chứa một cell $e_{r}$ nào đó thì $S^{n}-e_{r}$ là acylic, tức là:

$$\widetilde{H}_{q}(S^{n}-e_{r})=0 \forall q$$

Hệ quả: $S^{n}-e_{r}$ là path-connected. Vì nhóm $\widetilde{H_{0}}=0$.

Định lý $2:$ Nếu $S^{n}$ chứa $s_{r}$ với $n>0$ thì:

$$\widetilde{H}_{n-r-1}(S^{n}-s_{r})=Z$$

Và $\widetilde{H}_{q}(S^{n}-s_{r})=0 \forall q \neq n-r-1$

Định lý $3:$ ( Jordan-Brouwer separation theorem ) 

Không gian $S^{n}-s_{n-1}$ có đúng hai thành phần liên thông nhận $s_{n-1}$ làm biên. 

Định lý $4:$ ( Invariance of Domain ) 

Cho $U,V$ là hai tập con của $S^{n}$ dưới topo con. Và $h: U \to V$ là một đồng phôi giữa $U,V$. Khi đó nếu $U$ mở trong $S^{n}$ thì $V$ cũng mở trong $S^{n}$.

Hệ quả: Cho $U,V$ là hai tập con đồng phôi của $S^{n}$ dưới đồng phôi $h$, khi đó $h$ map phần trong đến phần trong và biên đến biên.

Định lý $4$ vẫn đúng nếu thay $S^{n}$ bởi $R^{n}$ nhưng sai với $D^{n}$.

Ta có thể coi $R^{n} \cup \left \{ \infty \right \} = S^{n}$, và một cách trực giác "vẽ bừa" ví dụ $n=2$ cho định lý $3$ ta thấy phần liên thông chứa $\infty$ đồng phôi với open ball. Ta gọi phần chứa $\infty$ là inside và phần còn lại là outside. Câu hỏi là liệu inside có đồng phôi với open ball không? Thì câu trả lời là không, phản ví dụ là Horned sphere-Alexandre và Lakes of Wada.

Một số bài tập thú vị. 

$1)$ Ta biết n-đa tạp là không gian topo Hausdorff mà mỗi điểm có lân cận đồng phôi với $R^{n}$. Chứng minh trên cùng một kgian topo $X$ mà $X$ có cấu trúc của n-đa tạp và m-đa tạp thì $m=n$

$2)$ Cho $U$ là tập mở của $R^{n}$ và $f: U \to R^{n}$ là đơn ánh liên tục. Chứng minh $f(U)$ mở trong $R^{n}$.

$3)$ Giả sử $M,N$ là các đa tạp $n$ chiều, gọi $U,V$ lần lượt là hai tập con của $M,N$ sao cho chúng đồng phôi. Chứng minh nếu $U$ mở trong $M$ thì $V$ mở trong $N$. ( mở rộng định lý invariance of domain cho đa tạp)

$4)$ Chứng minh nếu tồn tại hai tập mở của $R^{m}$ và $R^{n}$ đồng phôi thì $m=n$.

$5)$ Chứng minh $S^{n}$ không thể đồng phôi với tập con thật sự của nó.

$6)$ Chứng minh không tồn tại đơn ánh liên tục $f: S^{n} \to R^{n}$.

$7)$ Gọi $A$ là tập con đóng của $R^{n}$ đồng phôi với $R^{n-1}$. Chứng minh $R^{n}-A$ có đúng hai thành phần liên thông.

Theo mình thú vị nhất là bài tập $6$ và nó phải sử dụng bài tập $5$ để giải. Trước tiên mình phát biểu một bổ đề mà có lẽ ai học topo đại cương cũng biết.

Bổ đề: Cho song ánh liên tục $f: A\to B$ trong đó $A$ là compact và $B$ là Hausdorff thế thì $f$ là đồng phôi. 

Chứng minh:

$5)$ Gọi $A$ là tập con của $S^{n}$ đồng phôi với $S^{n}$, như vậy $A$ compact, và $S^{n}$ hiển nhiên Hausdorff nên $A$ đóng trong $S^{n}$. Ngoài ra $S^{n}$ cũng tự mở dưới topo của nó nên theo Invariance of Domain ta có $A$ mở trong $S^{n}$. Tức là $A$ vừa đóng vừa mở, mà $S^{n}$ liên thông nên $A=S^{n}$.

$6)$ Giả sử tồn tại đơn ánh liên tục $f: S^{n} \to R^{n}$, áp dụng bổ đề $5$ ta thấy $f$ là một đồng phôi từ $S^{n}$ lên $Im(f)=f(S^{n})=X$. Nếu $f$ là toàn ánh thì $S^{n}$ đồgn phôi với $R^{n}$, rõ ràng vô lý vì $S^{n}$ compact còn $R^{n}$ thì không. Vậy phải tồn tại một điểm $a \in R^{n}$ sao cho hạn chế của $f$ ( vẫn kí hiệu là $f$) 

$$f: S^{n} \to R^{n}-\left \{ a \right \}$$

Gọi $k$ là đồng phôi:

$$k: R^{n}-\left \{a  \right \} \to R^{n}-\left \{ 0 \right \}$$

Gọi $g$ là đơn ánh liên tục:

$$g:R^{n}-\left \{0  \right \} \to S^{n-1}$$

$$x \to \frac{x}{\parallel x \parallel}$$

Tiếp tục gọi $p$ là phép nhúng:

$$p: S^{n-1}\to S^{n}$$

$$(x_{1},...,x_{n}) \to (x_{1},...,x_{n},0)$$

Chú ý rằng $p,g$ không toàn ánh.

Như vậy lấy hợp thành $h=pgkf:S^{n} \to S^{n}$, như ta thấy $h$ đơn ánh và không phải song ánh, và do vậy $S^{n}$ đồng phôi với tập con thực sự của nó, trái $5)$ suy ra vô lý.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 10-11-2017 - 01:04

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Đã gửi 06-03-2020 - 09:27

Định lý Invariance of Domain là một định lý nền tảng để nghiên cứu đa tạp có biên: dựa vào nó, ta chứng minh được rằng "biên" của một đa tạp có biên không phụ thuộc vào cách chọn bản đồ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Heuristic: 06-03-2020 - 09:28


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 10-03-2020 - 20:47

Định lý Invariance of Domain là một định lý nền tảng để nghiên cứu đa tạp có biên: dựa vào nó, ta chứng minh được rằng "biên" của một đa tạp có biên không phụ thuộc vào cách chọn bản đồ.

Còn tôi chỉ thấy số chiều đa tạp là duy nhất.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh