Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $AX=DX$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Cho $\triangle{ABC}$, ba đường cao $AD, BE, CF$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $DF$ cắt đường thẳng qua $E$ vuông góc $DE$ tại $X$. Chứng minh $AX = DX$

526.png



#2
Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Chuyên mục tự hỏi tự trả lời  :icon6:

*** Cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}\tkzDefPoints{1/4/A,0/0/B,5/0/C}\tkzDefPointBy[projection=onto B--C](A) \tkzGetPoint{D}\tkzDefPointBy[projection=onto C--A](B) \tkzGetPoint{E}\tkzDefPointBy[projection=onto A--B](C) \tkzGetPoint{F}\tkzDefLine[orthogonal=through B](D,F) \tkzGetPoint{x1}\tkzDefLine[orthogonal=through E](D,E) \tkzGetPoint{x2}\tkzInterLL(B,x1)(E,x2) \tkzGetPoint{X}\tkzDefPointBy[projection=onto A--D](X) \tkzGetPoint{Y}\tkzCircumCenter(A,B,C) \tkzGetPoint{O}\tkzDefPointBy[symmetry=center O](C) \tkzGetPoint{Z} \tkzDrawSegments(A,B B,C C,A D,F D,E B,X E,X B,E C,F A,D C,Z Z,A Z,B)\tkzDrawSegments[dashed](X,Y)\tkzDrawSegments[color=red,dashed](X,A X,D) \tkzLabelPoint[above](A){$A$}\tkzLabelPoint[below](B){$B$}\tkzLabelPoint[below](C){$C$}\tkzLabelPoint[below](D){$D$}\tkzLabelPoint[above right](E){$E$}\tkzLabelPoint[above right](F){$F$}\tkzLabelPoint[below](O){$O$}\tkzLabelPoint[right](X){$X$}\tkzLabelPoint[left](Y){$Y$}\tkzLabelPoint[left](Z){$Z$} \tkzDrawPoints[fill=white](A,B,C,D,E,F,O,X,Y,Z)\end{tikzpicture}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Giả sử $\triangle{ABC}$ nhọn. Các trường hợp còn lại ta làm tương tự.
 
Gọi $Y$ là trung điểm $AD$, để chứng minh $XA=XD$ ta chứng minh $XY \perp AD$ hay $XY \parallel BC$. Do đó ta sẽ chứng minh $S_{XBC} = S_{YBC} = \dfrac12 S_{ABC}$
 
Kẻ đường kính $CZ$. Như một kết quả quen thuộc ta có $BO \perp DF$ và $CO \perp DE$, dẫn đến $B, O, X$ thẳng hàng.
 
Để ý $XE \parallel CO$ và $AZ \parallel BE$, biến đổi diện tích ta có \[\begin{aligned} S_{XBC} &= S_{BOC} + S_{COX} \\&= S_{BOC} + S_{COE} \\&= \dfrac12 (S_{BZC} + S_{CZE}) \\&= \dfrac12 (S_{BZE} + S_{BEC}) \\&= \dfrac12 (S_{BAE} + S_{BEC}) \\&= \dfrac12 S_{ABC}\end{aligned}\]
Ta có đpcm.



#3
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho $\triangle{ABC}$, ba đường cao $AD, BE, CF$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $DF$ cắt đường thẳng qua $E$ vuông góc $DE$ tại $X$. Chứng minh $AX = DX$

attachicon.gif526.png

Bài này trong tạp chí Kvant, nó thay đổi giả thiết một tí.

Untitled.png

Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $B,O,X$ thẳng hàng, $EX || OC$ (tự chứng minh)

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có: $\widehat{EXB}=\widehat{XOC}=2\widehat{OBC}=2\widehat{MBE}=\widehat{AME}$ nên tứ giác $BMEX$ nội tiếp.

Suy ra: $\widehat{MXB}=\widehat{MEB}=\widehat{MBE}=\widehat{OBC}\Rightarrow MX||BC$

Từ đó ta có ĐPCM 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh