Cho $\triangle{ABC}$, ba đường cao $AD, BE, CF$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $DF$ cắt đường thẳng qua $E$ vuông góc $DE$ tại $X$. Chứng minh $AX = DX$
Chứng minh $AX=DX$
#1
Đã gửi 11-11-2017 - 19:08
#2
Đã gửi 21-06-2018 - 16:41
Chuyên mục tự hỏi tự trả lời
*** Cannot compile formula: \begin{tikzpicture}\tkzDefPoints{1/4/A,0/0/B,5/0/C}\tkzDefPointBy[projection=onto B--C](A) \tkzGetPoint{D}\tkzDefPointBy[projection=onto C--A](B) \tkzGetPoint{E}\tkzDefPointBy[projection=onto A--B](C) \tkzGetPoint{F}\tkzDefLine[orthogonal=through B](D,F) \tkzGetPoint{x1}\tkzDefLine[orthogonal=through E](D,E) \tkzGetPoint{x2}\tkzInterLL(B,x1)(E,x2) \tkzGetPoint{X}\tkzDefPointBy[projection=onto A--D](X) \tkzGetPoint{Y}\tkzCircumCenter(A,B,C) \tkzGetPoint{O}\tkzDefPointBy[symmetry=center O](C) \tkzGetPoint{Z} \tkzDrawSegments(A,B B,C C,A D,F D,E B,X E,X B,E C,F A,D C,Z Z,A Z,B)\tkzDrawSegments[dashed](X,Y)\tkzDrawSegments[color=red,dashed](X,A X,D) \tkzLabelPoint[above](A){$A$}\tkzLabelPoint[below](B){$B$}\tkzLabelPoint[below](C){$C$}\tkzLabelPoint[below](D){$D$}\tkzLabelPoint[above right](E){$E$}\tkzLabelPoint[above right](F){$F$}\tkzLabelPoint[below](O){$O$}\tkzLabelPoint[right](X){$X$}\tkzLabelPoint[left](Y){$Y$}\tkzLabelPoint[left](Z){$Z$} \tkzDrawPoints[fill=white](A,B,C,D,E,F,O,X,Y,Z)\end{tikzpicture} *** Error message: Error: Nothing to show, formula is empty
Giả sử $\triangle{ABC}$ nhọn. Các trường hợp còn lại ta làm tương tự.
Gọi $Y$ là trung điểm $AD$, để chứng minh $XA=XD$ ta chứng minh $XY \perp AD$ hay $XY \parallel BC$. Do đó ta sẽ chứng minh $S_{XBC} = S_{YBC} = \dfrac12 S_{ABC}$
Kẻ đường kính $CZ$. Như một kết quả quen thuộc ta có $BO \perp DF$ và $CO \perp DE$, dẫn đến $B, O, X$ thẳng hàng.
Để ý $XE \parallel CO$ và $AZ \parallel BE$, biến đổi diện tích ta có \[\begin{aligned} S_{XBC} &= S_{BOC} + S_{COX} \\&= S_{BOC} + S_{COE} \\&= \dfrac12 (S_{BZC} + S_{CZE}) \\&= \dfrac12 (S_{BZE} + S_{BEC}) \\&= \dfrac12 (S_{BAE} + S_{BEC}) \\&= \dfrac12 S_{ABC}\end{aligned}\]
Ta có đpcm.
- duylax2412, Khoa Linh, YoLo và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 21-06-2018 - 19:26
Cho $\triangle{ABC}$, ba đường cao $AD, BE, CF$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $DF$ cắt đường thẳng qua $E$ vuông góc $DE$ tại $X$. Chứng minh $AX = DX$
Bài này trong tạp chí Kvant, nó thay đổi giả thiết một tí.
Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $B,O,X$ thẳng hàng, $EX || OC$ (tự chứng minh)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có: $\widehat{EXB}=\widehat{XOC}=2\widehat{OBC}=2\widehat{MBE}=\widehat{AME}$ nên tứ giác $BMEX$ nội tiếp.
Suy ra: $\widehat{MXB}=\widehat{MEB}=\widehat{MBE}=\widehat{OBC}\Rightarrow MX||BC$
Từ đó ta có ĐPCM
- duylax2412, HelpMeImDying, iloveyoubebe và 1 người khác yêu thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh