Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 3 tháng 11/2017: tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$ nằm trên $AM$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4247 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 12-11-2017 - 19:32

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 11/2017 đã được đưa lên tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với trung tuyến $AM$. Lấy $P$ thuộc trung trực $AB$ sao cho $AP \perp AC$. Lấy $Q$ sao cho $QP \perp AO$ và $QO \perp AM$. Trung trực $CA$ cắt $AB$ tại $E$. $QE$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$ nằm trên $AM$.

 

Screen Shot 2017-11-12 at 10.29.56 PM.png

 

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $S$ thuộc đoạn $CD$ sao cho $\angle DSA= \angle CSB$. $M,N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $AS, BS$ và $(O)$. $P,Q$ theo thứ tự là điểm đối xứng xủa $M,N$ qua $CD$. $T$ là giao điểm của $AP$ và $BQ$. $U,V$ theo thứ tự là giao điểm của $CT, DT$ và $AB$. Chứng minh rằng $AU=BV$.

 

Screen Shot 2017-11-12 at 10.30.06 PM.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 15-11-2017 - 16:36
Đã sửa

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 trihoctoan

trihoctoan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Đã gửi 17-11-2017 - 10:38

Tên :Phan Quang Trí ; TP. HCM ;Sinh viên đại học Sài Gòn khoa Toán Ứng Dụng

Lời giải bài 1:

 Gọi $X$ là điểm đối xứng của $A$ qua $PQ$  và gọi $AL$ là đường đới trung tại đỉnh $A$ của $(O)$ ($L$ thuộc $(O)$)  .Gọi $AM$ cắt $(O)$ tại $V$ .Ta thấy rằng :$X$ thuộc đường tròn qua $AB$  và tiếp xúc $AC$ tại $A$ và $Q$ là tâm của đường tròn $(AVX)$ .Bây giờ ta cần chứng minh: $AL\perp\ QE$ .Ta sử dụng phép nghịch đảo tâm A phương tích bất kì ta thu được bài toán sau:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Đường thẳng qua $B$ song song với $AC$ cắt đường cao tại đỉnh $A$ tại $U$ .Gọi $X$ là hình chiếu của $C$ lên  $AB$ .$AV$  là đường đối trung tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ ($V$ thuộc $BC$) .$AM$ là đường trung tuyến .Chứng minh rằng :$UV$ ,$CX$,$AM$ đồng quy .

Chứng minh : Gọi $AV$ cắt $(O)$ tại $L$ .Kẻ $AV_1$  song song với $BC$ ($V_1$ thuộc $(O)$) .Gọi $U'$ là đối xứng của $U$ qua $ BC$ .Ta có các bộ điểm sau :$(B,U',V)$ ,$(L,M,V_1)$ thẳng hàng do tính đối xứng trục.

Gọi $AH$ cắt $(O)$ tại $H'$ .Ta có :$CX$ và $CH'$ là đối xứng nhau qua BC .Nên ta chỉ cần chứng minh :$U'V$,$CH'$,$LV_1$ là đồng quy .

Áp dụng  định lý Pascal cho bộ 6 điểm $(AV_1C,LH'B)$  :

Ta suy ra : $U'$,$V$,$L_2$ thẳng hàng (với $L_2$ là giao điểm của $CH'$ và $LV_1$ ) .

Từ đây kết hợp tính đối xứng trục $BC$ ta suy ra : $CX$,$AM$,$UV$ đồng quy .

Suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trihoctoan: 17-11-2017 - 10:53


#3 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 17-11-2017 - 16:14

Lời giải bài 1 :Gọi tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $L$ ,$AL$ cắt $(O)$  tại $T$ , đpcm tương đương $AT\perp QE <=>\widehat{OQE}=\widehat{MAT} $

Gọi $PQ$ cắt $AB$ tại $N$  có $\widehat{PNB}=\widehat{AOP}=\widehat{BOP}$ nên $NOBP$ nội tiếp nên $\widehat{BAC}=\widehat{OPB}=\widehat{ONB}=>ON\parallel AC$

Gọi $(OTL)$ cắt $BT$ tại $H$ , Ta có $\widehat{LOH}=\widehat{ACB}=\widehat{QNE} ,\widehat{LBH}=\widehat{MAC}=\widehat{QOE}$ và $\Delta ONE \sim \Delta BOL$ nên 2 hình $ONQE,BOHL$ đồng dạng với nhau $=>\widehat{OQE}=\widehat{THL}=\widehat{TOM}=\widehat{TAM}$ dpcm

 
qư.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 17-11-2017 - 16:50

~O)  ~O)  ~O)


#4 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 17-11-2017 - 16:32

Lời giải bài 2 :

Ta có $SN.SB=SM.SA$ nên $MN$ song song $BA$ nên $ST$ đi qua trung điểm $AB$

Gọi $PQ,PB$ cắt $AB,AQ$ tại $E,F$ . $DC$ cắt $PQ,AB,EF$ tại $X,Y,Z$

Ta có $(SZXY)=E(SFBQ)=-1$ nên $TZ$ song song $AB$

Mặt khác $EF$ là đối cực của $S$ qua $(O)$ nên $(DCSZ)=-1$ => $T(UVSZ)=-1$ nên $TS$ cũng đi qua trung điểm $VU$ nên $AU=BV$

s.png


~O)  ~O)  ~O)






4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh