C(A) là tập hợp các ma trận nên mọi ma trận thuộc C(A) đều thuộc không gian chứa các ma trận vuông $ M_{n\times n }$ thuộc
Chứng minh dimC(A)>n
Với không gian các ma trận ta biết số chiều là $n^{2} $
Theo định lý số chiều :
Ta có $dim (Im F(X)) +dim(ker F(X)) =n^{2} $ Vì thế yêu cầu bài toán tương đương với số chiều $ker F(X) >n $
Ta sẽ đi chứng minh dim$ Im(F(X)) <n^{2}-n $
Xét ánh xạ F(X)=AX-XA với X và A là các ma trận vuông cấp n
Ánh xạ F là 1 ánh xạ tuyến tính do nó thỏa mãn 2 tính chất
Thật vậy :$ F(M+N)=A(M+N)-(M+N)A=AM-MA+AN-NA=F(M)+F(N)$
và $F(kX)=k(AX-XA)=kF(X) $
Bằng biển đổi thông thường ta luôn có F(X) là 1 ma trận có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 với mọi ma trận X
VÌ vậy số chiều của$ Im F(X) $luôn nhỏ hơn $n^{2}-n$
Yêu cầu bái toán đã được chứng minh .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 21-08-2018 - 14:21