Đến nội dung

Hình ảnh

$dimC(A) \ge n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Giả sử $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $ C(A)= \left\{B|BA=AB \right\}$ là tập hợp tất cả các ma trận vuông phức cấp $n$ giao hoán với ma trận $A$. Chứng minh rằng $C(A)$ là không gian vector con của không gian vector $M_{n x n}$ và $dimC(A) \ge n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 14-11-2017 - 15:42


#2
LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

C(A) là tập hợp các ma trận nên  mọi ma trận thuộc C(A) đều thuộc không gian chứa các ma trận vuông $ M_{n\times n }$ thuộc 
Chứng minh dimC(A)>n 
Với không gian các ma trận ta biết số chiều là $n^{2} $

Theo định lý số chiều :

Ta có $dim (Im F(X)) +dim(ker F(X)) =n^{2} $ Vì thế  yêu cầu bài toán tương đương với số chiều $ker F(X) >n $

 

Ta sẽ đi chứng minh dim$ Im(F(X)) <n^{2}-n $

 

Xét ánh xạ  F(X)=AX-XA với X và A là các ma trận vuông cấp n 

 

Ánh xạ F là 1 ánh xạ tuyến tính do nó thỏa mãn 2 tính chất 

 

 Thật vậy :$ F(M+N)=A(M+N)-(M+N)A=AM-MA+AN-NA=F(M)+F(N)$
            và $F(kX)=k(AX-XA)=kF(X) $

 

Bằng biển đổi thông thường  ta luôn có F(X) là 1 ma trận có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 với mọi ma trận X 
VÌ vậy số chiều của$ Im F(X) $luôn nhỏ hơn $n^{2}-n$
 Yêu cầu bái toán đã được chứng minh .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 21-08-2018 - 14:21





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh