Chủ đề này có 1 trả lời

[hungnolan]

Cho $x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$

CMR $x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

[DinhXuanHung CQB]

Từ $xyz=1$ và ĐPCM ta có thể suy ra được BĐT cần chứng minh tương đương

$x^2+y^2+z^2+3\geq 2(xy+yz+zx)$

<=> $(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+3(x+y+z)\geq 2(x+y+z)(xy+yz+zx)

Do $(x+y+z)(xy+yz+zx)=\sum xy(x+y)+3xyz=\sum xy(x+y)+3$

và $(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)=x^3+y^3+z^3+\sum xy(x+y)$

BDT Cần cm <=> $\sum x^3+3(x+y+z)\geq \sum xy(x+y)+6$

$x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)=[x^3+y^3+z^3+(x+y+z)]+2(x+y+z)$

$\geq (x^3+y^3+z^3+3\sqrt[3]{xyz})+2.3\sqrt[3]{xyz}$

$=(x^3+y^3+z^3+3xyz)+2.3\sqrt[3]{xyz}$
$\geq \sum xy(x+y)+6$